泊松点过程¶

在概率论、统计学及相关领域中，泊松点过程（也称为：泊松随机测度、泊松随机点场和泊松点场）是一种数学对象，它由随机分布在数学空间中的点组成，具有一个基本特征：这些点彼此独立发生。该过程的名称源于同一大小区域内点的数量分布服从泊松分布。该过程及其分布是以法国数学家西梅翁·德尼·泊松的名字命名的。这个过程在多个领域独立且反复被发现，包括放射性衰变实验、电话呼叫到达和精算科学等。

这个点过程被用作多个学科中看似随机过程的数学模型，包括天文学、生物学、生态学、地质学、地震学、物理学、经济学、图像处理和电信等。

泊松点过程通常在实数线上定义，可以视为一个随机过程。例如，在排队论中，它用于模拟在时间上分布的随机事件，如顾客在商店的到达、电话交换机的来电或地震的发生。在平面上，这个点过程，也称为空间泊松过程，可以表示散布对象的位置，例如无线网络中的发射器、撞击探测器的粒子或森林中的树木。该过程通常用于数学模型以及空间点过程、随机几何、空间统计和连续渗流理论等相关领域。

泊松点过程可以在更抽象的空间上定义。除了应用，泊松点过程本身也是一个数学研究对象。泊松点过程具有一个特性，即每个点与过程中的其他点是随机独立的，这也是它有时被称为纯随机过程或完全随机过程的原因。当点与点之间的相互作用过于强烈时（也就是说，点之间不是随机独立的），将系统建模为泊松过程是不够的。这种系统可能需要用其他点过程进行更好的建模。

点过程依赖于一个单一的数学对象，根据上下文，这可能是一个常数、一个局部可积函数，或者在更一般的情况下是一个拉东测度。在第一种情况下，这个常数称为速率或强度，是在某个空间区域内泊松过程中点的平均密度。由此产生的点过程称为均匀或平稳的泊松点过程。在第二种情况下，点过程称为非均匀或非平稳的泊松点过程，点的平均密度依赖于泊松点过程基础空间的位置。通常省略“点”这个词，但还有其他泊松过程，其对象不仅限于点，而是由更复杂的数学对象（如线和多边形）组成，并且这些过程可以基于泊松点过程。均匀和非均匀泊松点过程都是广义更新过程的特例。

定义¶

根据不同的背景，泊松点过程有多种等价定义，以及由于其众多应用和特征而具有不同广泛性的定义。泊松点过程可以在一维中定义、研究和使用，例如在实线上，可以将其视为计数过程或排队模型的一部分；在更高维度中，例如平面中，它在随机几何和空间统计中发挥作用；或者在更一般的数学空间中。因此，用于定义和研究泊松点过程以及一般点过程的符号、术语和数学严谨性水平会根据上下文而有所不同。

尽管如此，泊松点过程有两个关键特性——泊松特性和独立特性——在所有使用泊松点过程的环境中都起着至关重要的作用。这两个特性并不是逻辑独立的；事实上，点计数的泊松分布蕴含了独立特性，而在反向推导中，需要假设：

点过程是简单的。
没有固定的公理。
几乎处处有界有限。

泊松计数的泊松分布¶

泊松点过程通过泊松分布来表征。泊松分布是一个随机变量 \( N \)（称为泊松随机变量）的概率分布，使得 \( N \) 等于 \( n \) 的概率由以下公式给出：

\[ \Pr\{N=n\} = \frac{\Lambda^n}{n!} e^{-\Lambda} \]

其中 \( n! \) 表示阶乘，参数 \( \Lambda \) 决定了分布的形状。（实际上，\( \Lambda \) 等于 \( N \) 的期望值。）

根据定义，泊松点过程具有一个特性，即过程基础空间的有界区域内的点数是一个泊松分布的随机变量。

完全独立性¶

考虑一组不相交且有界的基础空间子区域。根据定义，泊松点过程在每个有界子区域中的点数将完全独立于其他所有子区域的点数。

这一特性有多种名称，如完全随机性、完全独立性或独立散布，这在所有泊松点过程中都是普遍存在的。换句话说，不同区域之间缺乏相互作用，点之间一般也缺乏相互作用，这使得泊松过程有时被称为纯随机过程或完全随机过程。

均匀泊松点过程¶

如果一个泊松点过程的参数具有形式 \( \Lambda = \nu \lambda \)，其中 \( \nu \) 是勒贝格测度（即为集合赋予长度、面积或体积），而 \( \lambda \) 是一个常数，那么这个点过程被称为均匀或平稳泊松点过程。该参数被称为速率或强度，涉及在某个有界区域内存在的泊松点的期望（或平均）数量，其中速率通常在基础空间为一维时使用。

参数 \( \lambda \) 可以被解释为每单位范围（如长度、面积、体积或时间）内的平均点数，具体取决于基础数学空间，并且它也被称为平均密度或平均速率。

计数过程的解释¶

当均匀泊松点过程被考虑在正半轴上时，可以定义为一个计数过程，这是一种随机过程，可以表示为 \( \{N(t), t \geq 0\} \)。计数过程表示到时间 \( t \) 为止（包括 \( t \) 时刻）发生的事件或发生次数的总数。如果一个计数过程是均匀泊松计数过程，且其速率 \( \lambda > 0 \)，则必须满足以下三个性质：

\( N(0) = 0 \)；
具有独立增量；
在任何长度为 \( t \) 的区间内事件（或点）的数量是一个泊松随机变量，其参数（或均值）为 \( \lambda t \)。

最后一个性质意味着：

\[ E[N(t)]=\lambda t. \]

换句话说，随机变量 \( N(t) \) 等于 \( n \) 的概率由以下公式给出：

\[ \Pr\{N(t) = n\} = \frac{(\lambda t)^{n}}{n!} e^{-\lambda t}. \]

泊松计数过程还可以通过以下方式定义：计数过程中的事件之间的时间差是均值为 \( 1/\lambda \) 的指数随机变量。事件或到达之间的时间差被称为到达间隔或事件间隔时间。

作为实线上的点过程的解释¶

作为一个点过程，泊松点过程可以通过考虑在区间 \( (a, b] \) 内的点数来定义。在实线上的均匀泊松点过程，其参数 \( \lambda > 0 \)，该随机点数 \( N(a, b] \) 等于某个计数数 \( n \) 的概率由以下公式给出：

\[ \Pr\{N(a, b] = n\} = \frac{[\lambda (b-a)]^{n}}{n!} e^{-\lambda (b-a)}. \]

对于某个正整数 \( k \)，均匀泊松点过程的有限维分布为：

\[ \Pr\{N(a_{i}, b_{i}] = n_{i}, i=1, \ldots, k\} = \prod_{i=1}^{k} \frac{[\lambda (b_{i}-a_{i})]^{n_{i}}}{n_{i}!} e^{-\lambda (b_{i}-a_{i})}, \]

其中实数满足 \( a_{i} < b_{i} \leq a_{i+1} \)。

换句话说，\( N(a, b] \) 是一个泊松随机变量，其均值为 \( \lambda (b-a) \)，其中 \( a \leq b \)。此外，在任何两个不重叠的区间 \( (a_{1}, b_{1}] \) 和 \( (a_{2}, b_{2}] \) 中的点数彼此独立，并且这一特性可以扩展到任意有限数量的不重叠区间。

在排队论的上下文中，可以将区间内存在的点视为事件，但这与概率论意义上的事件有所不同。由此可见，\( \lambda \) 是每单位时间内发生的到达数量的期望值。

关键特性¶

之前的定义具有两个一般泊松点过程共享的重要特征：

每个有限区间内的到达数量服从泊松分布；
在不重叠区间内的到达数量是独立的随机变量。

此外，均匀泊松点过程还有第三个特性：

每个区间 \( (a+t, b+t] \) 内的到达数量的泊松分布仅依赖于区间的长度 \( b-a \)。

换句话说，对于任意有限的 \( t > 0 \)，随机变量 \( N(a+t, b+t] \) 与 \( t \) 是独立的，因此它也被称为平稳泊松过程。

大数法则¶

量 \( \lambda (b_{i}-a_{i}) \) 可以解释为在区间 \( (a_{i}, b_{i}] \) 内发生的点的期望或平均数量，即：

\[ {E}[N(a_{i}, b_{i}]] = \lambda (b_{i}-a_{i}), \]

其中 \( {E} \) 表示期望运算符。换句话说，泊松过程的参数 \( \lambda \) 与点的密度一致。此外，均匀泊松点过程遵循自身形式的（强）大数法则。更具体地说，以概率 1：

\[ \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{N(t)}{t} = \lambda, \]

其中 \( \lim \) 表示函数的极限，\( \lambda \) 是每单位时间内发生的到达数量的期望值。

无记忆性¶

在实线上的点过程中，两个连续点之间的距离将是一个参数为 𝜆 λ 的指数随机变量（或等效地，其均值为 1 / 𝜆 1/λ）。这意味着点具有无记忆性特征：在一个有限区间内存在一个点并不会影响其他点存在的概率（分布）。然而，当泊松过程定义在更高维空间时，这一特性没有自然的等价性。

有序性和简单性¶

具有平稳增量的点过程有时被称为有序（orderly）或规则（regular），如果满足：

\[ \Pr\{N(t, t+\delta] > 1\} = o(\delta), \]

其中使用了小 \( o \) 符号。一个点过程被称为简单点过程，当其任意两个点在基础空间中重合的概率为零。对于一般的实线上的点过程，有序性的特性意味着该过程是简单的，这也是均匀泊松点过程的情况。

鞅特征¶

在实线上的均匀泊松点过程与鞅理论之间存在以下联系：一个点过程是均匀泊松点过程当且仅当

\[ N(-\infty, t] - \lambda t \]

是一个鞅。这意味着在任何时刻 \( t \)，经过的事件数量减去期望值 \( \lambda t \) 形成一个具有无偏性的过程。

与其他过程的关系¶

在实线上的泊松过程是一种连续时间马尔可夫过程，被称为出生过程，是出生–死亡过程的特例（仅有出生且无死亡）。更复杂的具有马尔可夫特性的过程，如马尔可夫到达过程，已被定义，其中泊松过程是一个特例。

限制在半线¶

如果均匀泊松过程仅考虑在半线 \( [0, \infty) \) 上（例如当 \( t \) 代表时间时），则所得到的过程在平移下并不完全不变。在这种情况下，根据某些平稳性定义，泊松过程不再是平稳的。

应用¶

均匀泊松过程在实线上的应用广泛，试图建模看似随机和独立的事件。它在排队理论中具有基础性作用，排队理论是开发适当随机模型以表示某些现象的随机到达和离开的概率领域。例如，顾客到达并接受服务或电话交换机的电话到达都可以利用排队理论中的技术进行研究。

推广¶

均匀泊松过程被视为计数随机点数量的最简单随机过程之一。该过程可以通过多种方式进行推广。一种可能的推广是将到达时间间隔的分布从指数分布扩展到其他分布，这引入了称为更新过程的随机过程。另一个推广是将泊松点过程定义在更高维空间，如平面上。

空间泊松点过程¶

空间泊松过程是定义在平面 \(\mathbb{R}^2\) 上的泊松点过程。对于其数学定义，首先考虑平面上的一个有界的、开或闭的（或更准确地说，是博雷尔可测的）区域 \(B\)。点过程 \(N\) 在该区域 \(B \subset \mathbb{R}^2\) 中存在的点数是一个随机变量，记为 \(N(B)\)。如果这些点属于参数 \(\lambda > 0\) 的均匀泊松过程，那么在 \(B\) 中存在 \(n\) 个点的概率由以下公式给出：

\[ \Pr\{N(B) = n\} = \frac{(\lambda |B|)^n}{n!} e^{-\lambda |B|} \]

其中 \(|B|\) 表示区域 \(B\) 的面积。

对于某个有限整数 \(k \geq 1\)，我们可以通过首先考虑一组不相交的、有界的博雷尔（可测）集合 \(B_1, \dots, B_k\) 来给出均匀泊松点过程的有限维分布。点过程 \(N\) 在 \(B_i\) 中存在的点数可以表示为 \(N(B_i)\)。那么，具有参数 \(\lambda > 0\) 的均匀泊松点过程的有限维分布为：

\[ \Pr\{N(B_i) = n_i, i=1, \dots, k\} = \prod_{i=1}^{k} \frac{(\lambda |B_i|)^{n_i}}{n_i!} e^{-\lambda |B_i|} \]

应用¶

空间泊松点过程在空间统计学、随机几何和连续渗透理论中占据重要位置。这一点过程在各种物理科学中得到了应用，例如用于探测α粒子的模型。近年来，它频繁被用于模拟某些无线通信网络的看似无序的空间配置。例如，已经开发了蜂窝或移动电话网络的模型，其中假设网络发射器（即基站）的分布遵循均匀泊松点过程。

在高维上的定义¶

高维均匀泊松点过程可以通过将面积的概念替换为（高维）体积的概念来推广。如果欧几里得空间 \( \mathbb{R}^d \) 中的某个有界区域 \( B \) 内的点形成一个参数为 \( \lambda > 0 \) 的均匀泊松过程，则在该区域内存在 \( n \) 个点的概率为：

\[ \Pr\{N(B) = n\} = \frac{(\lambda |B|)^n}{n!} e^{-\lambda |B|} \]

其中，\( |B| \) 表示 \( B \) 的 \( d \) 维体积。此外，对于一组不相交的有界 Borel 集合 \( B_1, B_2, \dots, B_k \subset \mathbb{R}^d \)，设 \( N(B_i) \) 表示 \( B_i \) 中的点的数量，则该均匀泊松点过程的有限维分布为：

\[ \Pr\{N(B_i) = n_i, i = 1, \dots, k\} = \prod_{i=1}^{k} \frac{(\lambda |B_i|)^{n_i}}{n_i!} e^{-\lambda |B_i|} \]

均匀泊松点过程的参数 \( \lambda \) 不依赖于底层空间的位置，这意味着它是一个平稳过程（对平移不变）和各向同性过程（对旋转不变）。类似于一维的情况，当该过程被限制在 \( \mathbb{R}^d \) 的某个有界子集时，根据某些平稳性的定义，可能不再是平稳的。

点的分布是均匀分布¶

均匀泊松点过程定义在实线上时，通常用于描述某些现象的发生位置。该过程的一个特点是，这些事件在实线（通常解释为时间）上的位置服从均匀分布。具体来说，如果在区间 \( (a, b] \) 内发生了某个事件（根据这个过程），那么事件的位置将是定义在该区间上的均匀随机变量。此外，这个均匀性特性有时使得均匀泊松点过程也被称为均匀泊松点过程。

这种均匀性属性可以推广到笛卡尔坐标下的更高维空间，但在例如极坐标等其他坐标系下不成立。

非均匀泊松点过程¶

非均匀（或非齐次）泊松点过程是指在泊松过程中，其泊松参数设为底层空间上某个位置相关的函数。在欧几里得空间 \( \mathbb{R}^d \) 中，通过引入一个局部可积的正函数 \( \lambda: \mathbb{R}^d \to [0, \infty) \)，对于每个有界区域 \( B \)，其 \( d \)-维体积积分是有限的。换句话说，如果这个积分（记作 \( \Lambda(B) \)）为：

\[ \Lambda(B) = \int_B \lambda(x) \, dx < \infty, \]

其中 \( dx \) 表示 \( d \)-维体积元，则对于一组互不相交的有界 Borel 可测集 \( B_1, \dots, B_k \)，具有（强度）函数 \( \lambda(x) \) 的非均匀泊松点过程具有以下有限维分布：

\[ \Pr\{N(B_i) = n_i, i=1, \dots, k\} = \prod_{i=1}^{k} \frac{(\Lambda(B_i))^{n_i}}{n_i!} e^{-\Lambda(B_i)}. \]

此外，\( \Lambda(B) \) 可以解释为泊松点过程在有界区域 \( B \) 中点的期望数量，即：

\[ \Lambda(B) = \mathbb{E}[N(B)]. \]

这一过程适用于强度因空间位置不同而变化的情况，常用于更复杂的随机现象建模。

在实线上的定义¶

在实线上，非均匀或非齐次泊松点过程的均值测度由一维积分给出。对于两个实数 \( a \) 和 \( b \)，其中 \( a \leq b \)，记 \( N(a, b] \) 为在区间 \( (a, b] \) 内发生的具有强度函数 \( \lambda(t) \) 的非均匀泊松过程的点数。在上述区间 \( (a, b] \) 内存在 \( n \) 个点的概率为：

\[ \Pr\{N(a, b] = n\} = \frac{[\Lambda(a, b)]^{n}}{n!} e^{-\Lambda(a, b)}. \]

其中，均值或强度测度为：

\[ \Lambda(a, b) = \int_{a}^{b} \lambda(t) \, dt, \]

这意味着随机变量 \( N(a, b] \) 是一个均值为 \( \Lambda(a, b) \) 的泊松随机变量，即：

\[ \mathbb{E}[N(a, b]] = \Lambda(a, b). \]

一维情况下的一个特性是，非均匀泊松过程可以通过单调变换或映射（使用 \( \Lambda \) 的逆函数）转化为均匀泊松过程。

计数过程解释¶

非均匀泊松点过程在考虑于正半轴时，有时也被定义为一个计数过程。采用这种解释时，该过程有时表示为 \(\{N(t), t \geq 0\}\)，代表截至时间 \( t \)（包括 \( t \) 时刻）发生的事件或事件总数。一个计数过程被称为非均匀泊松计数过程，如果它具有以下四个性质：

\( N(0) = 0 \)；
具有独立增量；
\(\Pr\{N(t+h) - N(t) = 1\} = \lambda(t) h + o(h)\)；
\(\Pr\{N(t+h) - N(t) \geq 2\} = o(h)\)；

其中，小 \( o \) 符号表示当 \( h \rightarrow 0 \) 时，\(\frac{o(h)}{h} \rightarrow 0\)。在具有折射性（例如神经尖峰列车）的点过程中，性质 4 的一个更强版本适用：

\[ \Pr\{N(t+h) - N(t) \geq 2\} = o(h^2) \]

上述性质意味着 \( N(t+h) - N(t) \) 是一个参数（或均值）为

\[ \mathbb{E}[N(t+h) - N(t)] = \int_{t}^{t+h} \lambda(s) \, ds \]

的泊松随机变量，这意味着

\[ \mathbb{E}[N(h)] = \int_{0}^{h} \lambda(s) \, ds. \]

空间泊松过程¶

在平面 \(\mathbb{R}^2\) 中定义的非均匀泊松过程称为空间泊松过程。它通过强度函数进行定义，其强度度量通过对某个区域的强度函数进行表面积积分获得。例如，假设其强度函数（作为 \(x\) 和 \(y\) 的函数）为：

\[ \lambda(x,y) = e^{-(x^2+y^2)}, \]

则对应的强度度量可以通过表面积积分表示为：

\[ \Lambda(B) = \int_B e^{-(x^2+y^2)} \, dx \, dy, \]

其中 \(B\) 是平面 \(\mathbb{R}^2\) 中的某个有界区域。

在更高维度中的定义¶

在平面中，\(\Lambda(B)\) 对应于表面积积分，而在 \(\mathbb{R}^d\) 中，该积分变为 \(d\) 维体积积分。具体来说，如果有一个局部可积的正函数 \(\lambda : \mathbb{R}^d \to [0, \infty)\)，那么在某个有界区域 \(B \subset \mathbb{R}^d\) 中，强度度量可以表示为：

\[ \Lambda(B) = \int_B \lambda(x) \, dx, \]

其中 \(dx\) 是 \(d\) 维体积元素。这种表示方法使得我们能够在高维空间中处理非均匀泊松过程的性质和应用。

应用¶

当实数线被解释为时间时，非均匀泊松过程在计数过程和排队理论等领域得到了应用。以下是一些可以用非均匀泊松点过程表示的现象的例子：

足球比赛中的进球
电路板中的缺陷

在平面中，泊松点过程在随机几何和空间统计等相关学科中具有重要意义。该点过程的强度度量依赖于底层空间的位置，这使其能够建模在某些区域中密度变化的现象。换句话说，这些现象可以表示为具有位置依赖密度的点。这一过程已被应用于多个学科，包括：

海洋中鲑鱼和海虱的研究
林业研究
搜索问题的研究

强度函数的解释¶

泊松强度函数 \(\lambda(x)\) 在微小体积元素 \(dx\) 的意义上具有一种直观的解释：\(\lambda(x) \, dx\) 是在位置 \(x\) 的体积为 \(dx\) 的区域中，泊松点过程存在一个点的微小概率。

例如，考虑在实数线上一个均匀泊松点过程，在宽度为 \(\delta\) 的小区间内找到一个点的概率大约为 \(\lambda \delta\)。事实上，这种直观的理解常常是引入泊松点过程及其分布的方式之一。

简单点过程¶

如果一个泊松点过程的强度测度是局部有限且稀疏（或非原子）的，那么它就是一个简单点过程。对于简单点过程，在基础状态空间中的单个点或位置存在一个点的概率要么是零，要么是一个。这意味着，几乎肯定没有两个（或更多）泊松点过程的点在基础空间中重合。

模拟¶

在计算机上模拟泊松点过程通常是在一个称为模拟窗口的有限区域内进行，涉及两个步骤：首先生成一个随机数量的点，然后以随机方式适当地放置这些点。这两个步骤都依赖于被模拟的具体泊松点过程。

步骤 1：点的数量¶

在模拟窗口 \( W \) 中，需要模拟点的数量 \( N \)。这可以通过使用能够模拟泊松随机变量的（伪）随机数生成函数来完成。

均匀情况¶

对于均匀情况，泊松随机变量 \( N \) 的均值设置为 \( \lambda |W| \)，其中 \( |W| \) 是 \( W \) 的长度、面积或 \( d \)-维体积。

非均匀情况¶

对于非均匀情况，\( \lambda |W| \) 被替换为 \( d \)-维体积积分：

\[ \Lambda (W) = \int_{W} \lambda(x) \, dx \]

步骤 2：点的定位¶

第二阶段需要在窗口 \( W \) 中随机放置 \( N \) 个点。

均匀情况¶

在一维的均匀情况下，所有点均匀且独立地放置在窗口或区间 \( W \) 中。在更高维的笛卡尔坐标系中，每个坐标在窗口 \( W \) 中均匀且独立地放置。如果窗口不是笛卡尔空间的子空间（例如，在单位球体内或单位球体表面），则需要适当的坐标变换（从笛卡尔坐标转换）。

非均匀情况¶

对于非均匀情况，可以根据强度函数 \( \lambda(x) \) 的性质使用几种不同的方法。如果强度函数相对简单，可以生成点的独立且随机的非均匀（笛卡尔或其他）坐标。例如，在一个圆形窗口上模拟泊松点过程时，对于各向同性的强度函数（在极坐标 \( r \) 和 \( \theta \) 中），这意味着它在 \( \theta \) 上是旋转不变的，但在 \( r \) 上是依赖的，可以通过在 \( r \) 上进行变量变换来实现。

对于更复杂的强度函数，可以使用接受-拒绝法，该方法只“接受”某些随机点，而“拒绝”其他点，基于比率：

\[ \frac{\lambda(x_i)}{\Lambda(W)} = \frac{\lambda(x_i)}{\int_W \lambda(x) \, dx} \]

其中 \( x_i \) 是待考虑的点。也就是说，首先在考虑位置上均匀随机选择一个位置，然后为了确定是否在该位置放置一个样本，会将均匀随机生成的数与概率密度函数

\[ \frac{\lambda(x)}{\Lambda(W)} \]

进行比较，如果小于该概率密度函数，则接受该位置，重复直到达到所需样本数量。

一般泊松点过程¶

在测度理论中，泊松点过程可以进一步推广为有时称为一般泊松点过程或一般泊松过程的形式，通过使用一个勒贝格测度（Radon measure）\( \Lambda \)，这是一个局部有限测度。一般来说，这个勒贝格测度 \( \Lambda \) 可以是原子的，这意味着泊松点过程的多个点可以存在于底层空间的同一位置。在这种情况下，位置 \( x \) 的点数是一个均值为 \( \Lambda(x) \) 的泊松随机变量。然而，有时假设相反，即勒贝格测度 \( \Lambda \) 是非原子或扩散的。

一个点过程 \( N \) 是具有强度 \( \Lambda \) 的一般泊松点过程如果满足以下两个性质：

在一个有界的博雷尔集合 \( B \) 中的点数是一个均值为 \( \Lambda(B) \) 的泊松随机变量。换句话说，定义位于 \( B \) 中的总点数为 \( N(B) \)，则随机变量 \( N(B) \) 等于 \( n \) 的概率为：

\[ \Pr\{N(B)=n\}=\frac{(\Lambda(B))^{n}}{n!}e^{-\Lambda(B)} \]

在 \( n \) 个不相交的博雷尔集合中的点数形成 \( n \) 个独立的随机变量。

勒贝格测度 \( \Lambda \) 保持其之前的解释，即为位于有界区域 \( B \) 中的点数的期望值：

\[ \Lambda(B)={E}[N(B)] \]

此外，如果 \( \Lambda \) 是绝对连续的，具有相对于勒贝格测度的密度（即 Radon-Nikodym 密度或导数），则对于所有博雷尔集合 \( B \)，可以表示为：

\[ \Lambda(B)=\int_{B}\lambda(x)\,\mathrm{d}x \]

其中密度 \( \lambda(x) \) 被称为强度函数。

泊松点过程的历史¶

泊松分布¶

尽管名为“泊松点过程”，但这一过程并不是由西蒙·丹尼斯·泊松发现或主要研究的。这一现象体现了斯蒂格勒的命名法则。其名称源于该过程与泊松分布的关系，该分布是泊松作为二项分布的极限情况推导出的。该分布描述了 \( n \) 次伯努利试验的和的概率，通常与在 \( n \) 次偏向于某一结果的抛硬币中出现正面（或反面）的次数相提并论，其概率为 \( p \)。对于一个正的常数 \( \Lambda > 0 \)，随着 \( n \) 的增加和 \( p \) 的减少，使得 \( np = \Lambda \) 保持不变，泊松分布与二项分布的近似程度将会增加。

泊松在1841年发表了关于泊松分布的研究，聚焦于 \( p \) 趋近于零和 \( n \) 趋近于无穷大的极限。这一结果在他生前并未被广泛认可，之后的用户包括菲利普·路德维希·冯·赛德尔和恩斯特·阿贝均未引用他。到19世纪末，拉迪斯劳斯·博尔基维奇对这一分布进行了研究，并引用了泊松的工作，使用了普鲁士军队中因马踢伤而死亡的数据。

早期应用与发现¶

关于泊松点过程的早期使用或发现有多种说法。例如，约翰·米切尔在1767年的研究中探讨了星星在特定区域内的概率，假设它们是随机分散的。这一研究启发了西蒙·纽科姆在1860年使用泊松分布来近似二项分布。

20世纪初，泊松过程在不同的背景下独立出现。1903年，菲利普·伦德堡在其论文中使用均匀泊松过程对保险索赔进行了建模。在丹麦，A.K.厄朗在1909年推导出泊松分布，开发了一个关于来电的模型，而不知道泊松的早期工作。

在1910年，欧内斯特·卢瑟福和汉斯·盖格发表了关于计数α粒子的发现，哈里·贝特曼也贡献了数学部分，推导出泊松概率作为一系列微分方程的解。这标志着泊松过程的独立发现，之后在各个领域得到了广泛研究和应用。

早期应用¶

1909年后，泊松点过程经历了各种研究和应用，尽管其早期历史相当复杂，原因在于它在不同学科中的多样化应用。早期的结果以多种语言发表，缺乏统一的术语和符号。例如，1922年，诺贝尔化学奖得主西奥多·斯维德贝格提出了一种模型，利用空间泊松点过程研究植物在植物群落中的分布。

20世纪30年代，数学家开始研究这一过程，安德烈·柯尔莫哥洛夫、威廉·费勒和亚历山大·欣金等人作出了重要贡献。在电信工程领域，研究人员广泛应用泊松及其他点过程。

术语¶

点过程理论的术语通常受到批评，因为其多样性过大。除了常常省略“点”这个词之外，同质泊松（点）过程还被称为平稳泊松（点）过程以及均匀泊松（点）过程。非同质泊松点过程除了被称为非平稳泊松过程外，也被称为非均匀泊松过程。

“点过程”这一术语也受到批评，因为“过程”可能暗示随时间和空间变化，因此有时使用随机点场（random point field），并且也使用泊松随机点场或泊松点场。点过程被视为，且有时称为随机计数测度，因此泊松点过程也被称为泊松随机测度，这一术语在研究莱维过程时使用，但有些人选择用这两个术语来指代定义在两个不同基础空间上的泊松点过程。

泊松点过程的基础数学空间被称为载体空间（carrier space）或状态空间（state space），尽管后者在随机过程的上下文中有不同的含义。在点过程的背景下，“状态空间”可以指定义点过程的空间，例如实线，这对应于随机过程术语中的索引集或参数集。

测度 \(\Lambda\) 被称为强度测度（intensity measure）、均值测度（mean measure）或参数测度（parameter measure），因为没有标准术语。如果 \(\Lambda\) 具有导数或密度，记作 \(\lambda(x)\)，则称为泊松点过程的强度函数。对于同质泊松点过程，强度测度的导数只是一个常数 \(\lambda > 0\)，通常在基础空间为实线时称为速率或强度。它也称为均值速率（mean rate）或均值密度（mean density）。对于 \(\lambda = 1\)，相应的过程有时被称为标准泊松（点）过程。

泊松点过程的范围有时称为曝光（exposure）。

符号¶

泊松点过程的符号依赖于其应用的环境和领域。例如，在实线上，同质或非同质的泊松过程有时被解释为计数过程，符号 \(\{N(t), t \geq 0\}\) 用于表示泊松过程。

符号变化的另一个原因是点过程理论具有几种数学解释。例如，简单的泊松点过程可以被视为随机集合，这意味着符号 \(x \in N\) 表示 \(x\) 是属于泊松点过程 \(N\) 的随机点。另一种更一般的解释是将泊松或其他点过程视为随机计数测度，因此可以将泊松点过程 \(N\) 在某个（Borel 可测）区域 \(B\) 中的点数表示为 \(N(B)\)，这也是一个随机变量。这些不同的解释导致了来自测度理论和集合理论的符号使用。

对于一般的点过程，有时会在点符号上加下标，例如 \(x_i \in N\) 而不是 \(x \in N\)，同时在积分表达式（例如坎贝尔定理）中，\(x\) 可以用作有界变量，而不是表示随机点。有时大写字母表示点过程，而小写字母表示过程中的一个点，例如点 \(x\) 或 \(x_i\) 属于或是点过程 \(X\) 的点，可以用集合符号写为 \(x \in X\) 或 \(x_i \in X\)。

此外，可以交替使用集合理论和积分或测度理论的符号。例如，对于在欧几里得状态空间 \(\mathbb{R}^d\) 上定义的点过程 \(N\) 和一个在 \(\mathbb{R}^d\) 上的（可测）函数 \(f\)，表达式

\[ \int_{\mathbb{R}^d} f(x) \, dN(x) = \sum_{x_i \in N} f(x_i) \]

展示了两种写法来表示点过程的求和（见坎贝尔定理）。更具体地说，左侧的积分符号将点过程解释为随机计数测度，而右侧的求和则暗示了随机集合的解释。

函数和矩测度¶

在概率论中，通常对随机变量进行各种操作以实现不同的目的。这些操作有时是常规的期望值，用于计算随机变量的平均值或方差。其他操作，例如随机变量的特征函数（或拉普拉斯变换），可以用于唯一标识或刻画随机变量，并证明中央极限定理等结果。在点过程理论中，存在类似的数学工具，通常以测度和函数的形式出现，而不是以矩和函数的形式。

这些测度和函数的使用使得我们能够研究点过程的特征和行为。例如，函数als可以用来描述点过程中的某些性质或计算特定的量，而矩测度则用于分析点过程的分布特征和依赖关系。这种方法为理解和应用点过程提供了强有力的工具。

拉普拉斯泛函¶

对于具有强度测度 \(\Lambda\) 的泊松点过程 \(N\) 在某个空间 \(X\) 上，拉普拉斯泛函定义为：

\[ L_{N}(f) = \mathbb{E} \left[ e^{-\int_{X} f(x) N(\mathrm{d} x)} \right] = e^{-\int_{X} (1 - e^{-f(x)}) \Lambda(\mathrm{d} x)}, \]

其中 \(f(x)\) 是定义在空间 \(X\) 上的函数。

拉普拉斯泛函的一个版本涉及到泊松点过程的坎贝尔定理，这一理论为我们提供了有关点过程的许多重要性质和结果。通过拉普拉斯泛函，我们可以分析和计算与点过程相关的特征和分布。

概率生成泛函¶

非负整数值随机变量的概率生成函数可以类比地定义为相对于任何非负有界函数 \(v\) 的概率生成泛函，该函数定义在 \(\mathbb{R}^d\) 上，满足 \(0 \leq v(x) \leq 1\)。对于点过程 \(N\)，概率生成泛函定义为：

\[ G(v) = \mathbb{E} \left[ \prod_{x \in N} v(x) \right], \]

其中该乘积在 \(N\) 中的所有点上进行。如果 \(N\) 的强度测度 \(\Lambda\) 是局部有限的，那么对于任何可测函数 \(u\) 在 \(\mathbb{R}^d\) 上，\(G\) 都是定义良好的。对于具有强度测度 \(\Lambda\) 的泊松点过程，生成泛函给出为：

\[ G(v) = e^{-\int_{\mathbb{R}^d} [1 - v(x)] \, \Lambda(\mathrm{d} x)}. \]

在均匀情况下，该表达式简化为：

\[ G(v) = e^{-\lambda \int_{\mathbb{R}^d} [1 - v(x)] \, \mathrm{d} x}. \]

这个定义在点过程理论中是非常重要的，帮助我们分析与点过程相关的性质和行为。

矩测度¶

对于一般的泊松点过程，其强度测度为 \(\Lambda\)，第一个矩测度即为其强度测度：

\[ M^1(B) = \Lambda(B), \]

对于具有常数强度 \(\lambda\) 的均匀泊松点过程，这意味着：

\[ M^1(B) = \lambda |B|, \]

其中 \(|B|\) 表示 \(B\) 的长度、面积或体积（更一般地说，是 Lebesgue 测度）。这个定义在分析泊松点过程的统计性质时非常重要，有助于理解点的分布特征。

Mecke 方程¶

Mecke 方程用于表征泊松点过程。设 \(\mathbb{N}_{\sigma}\) 为在某个一般空间 \(\mathcal{Q}\) 上所有 \(\sigma\)-有限测度的集合。如果一个具有强度 \(\lambda\) 的点过程 \(\eta\) 在 \(\mathcal{Q}\) 上是泊松点过程，当且仅当对于所有可测函数 \(f: \mathcal{Q} \times \mathbb{N}_{\sigma} \to \mathbb{R}_{+}\)，以下关系成立：

\[ \Pr \left[\int f(x, \eta) \eta(\mathrm{d}x)\right] = \int \Pr \left[f(x, \eta + \delta_{x})\right] \lambda(\mathrm{d}x) \]

这里，\(\delta_{x}\) 是在点 \(x\) 处的 Dirac 测度。该方程揭示了泊松点过程在统计特性上的重要性质，适用于多种应用场景。

阶乘矩测度¶

对于一般的泊松点过程，其强度测度为 \(\Lambda\)，第 \(n\) 阶的阶乘矩测度由以下表达式给出：

\[ M^{(n)}(B_{1} \times \cdots \times B_{n}) = \prod_{i=1}^{n}[\Lambda(B_{i})] \]

其中 \(\Lambda\) 是泊松点过程 \(N\) 的强度测度或第一矩测度，对于某个 Borel 集合 \(B\)，可以表示为：

\[ \Lambda(B) = M^{1}(B) = \mathbb{E}[N(B)] \]

对于均匀泊松点过程，第 \(n\) 阶的阶乘矩测度简化为：

\[ M^{(n)}(B_{1} \times \cdots \times B_{n}) = \lambda^{n} \prod_{i=1}^{n}|B_{i}| \]

其中 \(|B_{i}|\) 是 \(B_{i}\) 的长度、面积或体积（更一般地说是勒贝格测度）。此外，第 \(n\) 阶的阶乘矩密度为：

\[ \mu^{(n)}(x_{1}, \ldots, x_{n}) = \lambda^{n} \]

避免函数¶

避免函数或空虚概率 \(v\) 对于点过程 \(N\) 是相对于某个集合 \(B\) 定义的，\(B\) 是底层空间 \(\mathbb{R}^d\) 的子集，表示 \(N\) 中没有点落在 \(B\) 中的概率。更准确地说，对于测试集 \(B\)，避免函数定义为：

\[ v(B) = \Pr\{N(B) = 0\} \]

对于具有强度测度 \(\Lambda\) 的一般泊松点过程 \(N\)，其避免函数为：

\[ v(B) = e^{-\Lambda(B)} \]

雷尼定理¶

简单点过程完全由它们的空隙概率所表征。换句话说，一个简单点过程的全部信息完全被其空隙概率捕获，两个简单点过程若有相同的空隙概率，则它们是相同的点过程。对于泊松过程的情况，有时称为雷尼定理，它以发现该结果的阿尔弗雷德·雷尼命名，尤其是针对一维齐次点过程的情况。

在一种形式下，雷尼定理表述为：对于定义在 \(\mathbb{R}^d\) 上的弥散（或非原子）Radon测度 \(\Lambda\)，设 \(A\) 是矩形的有限并集（因此不是Borel集），若 \(N\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 的一个可数子集，使得：

\[ \Pr\{N(A)=0\}=v(A)=e^{-\Lambda(A)} \]

则 \(N\) 是一个强度测度为 \(\Lambda\) 的泊松点过程。

点过程运算¶

可以对点过程进行数学运算，以获得新的点过程并开发新的数学模型来描述某些对象的位置。一个运算的例子是稀疏化（thinning），其涉及根据某种规则删除或移除点过程中的一些点，剩余的点形成一个新的点过程（被删除的点也会形成一个点过程）。

稀疏化¶

对于泊松过程，独立的 \( p(x) \)-稀疏化操作会生成另一个泊松点过程。更具体地说，应用于具有强度测度 \( \Lambda \) 的泊松点过程的 \( p(x) \)-稀疏化操作，会产生一个由移除点组成的点过程，该过程也是泊松点过程 \( N_p \)，其强度测度 \( \Lambda_p \) 对于有界的 Borel 集 \( B \) 表示为：

\[ \Lambda_p(B) = \int_B p(x) \, \Lambda (dx) \]

这个泊松点过程的稀疏化结果有时称为Prekopa定理。此外，在随机稀疏化泊松点过程之后，保留的点也构成一个泊松点过程，其强度测度为：

\[ \Lambda_p(B) = \int_B (1 - p(x)) \, \Lambda (dx) \]

由移除点和保留点分别形成的两个独立的泊松点过程在统计上彼此独立。换句话说，如果已知某个区域包含 \( n \) 个保留点（来自原始泊松点过程），那么这对同一区域内移除点的随机数量没有影响。这种从一个泊松点过程中随机创建两个独立泊松点过程的能力，有时被称为泊松点过程的分裂。

叠加¶

如果有一可数的点过程集合 \( N_1, N_2, \ldots \)，它们的叠加，或在集合论中称为它们的并集，表示为：

\[ N = \bigcup_{i=1}^{\infty} N_i, \]

也形成一个点过程。换句话说，位于任意点过程 \( N_1, N_2, \ldots \) 中的点，也会位于这些点过程的叠加 \( N \) 中。

叠加定理¶

泊松点过程的叠加定理表明，独立的泊松点过程 \( N_1, N_2, \ldots \) 的叠加，其平均测度为

\[ \Lambda = \sum_{i=1}^{\infty} \Lambda_i. \]

换句话说，两个（或可数多个）泊松过程的并集仍然是另一个泊松过程。如果从可数个泊松过程的并集中抽样一个点 \( x \)，那么点 \( x \) 属于第 \( j \) 个泊松过程 \( N_j \) 的概率为：

\[ \Pr\{x \in N_j\} = \frac{\Lambda_j}{\sum_{i=1}^{n} \Lambda_i}. \]

对于两个均匀泊松过程，强度分别为 \( \lambda_1, \lambda_2, \ldots \)，这两个先前的表达式简化为

\[ \lambda = \sum_{i=1}^{\infty} \lambda_i, \]

以及

\[ \Pr\{x \in N_j\} = \frac{\lambda_j}{\sum_{i=1}^{n} \lambda_i}. \]

聚类¶

聚类操作是在某个点过程 \( N \) 的每个点 \( x \) 被另一个（可能不同的）点过程所替代时执行的。如果原始过程 \( N \) 是一个泊松点过程，那么得到的过程 \( N_c \) 被称为泊松聚类点过程。

随机游走¶

数学模型可能需要将点过程的点随机移动到基础数学空间中的其他位置，这产生了一种称为位移或平移的点过程操作。泊松点过程被用来模拟植物在世代之间的移动，这是由于位移定理，该定理大致表示泊松点过程的点的随机独立位移（在相同的基础空间上）形成另一个泊松点过程。

位移定理¶

位移定理的一个版本涉及在 \( \mathbb{R}^d \) 上的泊松点过程 \( N \)，其强度函数为 \( \lambda(x) \)。假设 \( N \) 的点随机位移到 \( \mathbb{R}^d \) 中的其他位置，使得每个点的位移是独立的，并且一个原本位于 \( x \) 的点的位移是一个概率密度为 \( \rho(x, \cdot) \) 的随机向量。则新的点过程 \( N_D \) 也是一个泊松点过程，其强度函数为

\[ \lambda_D(y) = \int_{\mathbb{R}^d} \lambda(x) \rho(x, y) \, \mathrm{d}x. \]

如果泊松过程是齐次的，且 \( \lambda(x) = \lambda > 0 \)，并且 \( \rho(x, y) \) 是 \( y - x \) 的函数，则

\[ \lambda_D(y) = \lambda. \]

换句话说，在每次点的随机和独立位移后，原始的泊松点过程仍然存在。

位移定理可以扩展，使得泊松点从一个欧几里得空间 \( \mathbb{R}^d \) 随机位移到另一个欧几里得空间 \( \mathbb{R}^{d'} \)，其中 \( d' \geq 1 \) 不一定等于 \( d \)。

映射¶

另一个被认为有用的属性是将泊松点过程从一个基础空间映射到另一个空间的能力。

映射定理¶

如果映射（或变换）符合某些条件，则得到的映射（或变换）后的点集也形成一个泊松点过程，这个结果有时被称为映射定理。该定理涉及某个基础空间上具有均值测度 \(\Lambda\) 的泊松点过程。如果点的位置根据某个函数映射（即点过程被变换）到另一个基础空间，则得到的点过程也是一个泊松点过程，但具有不同的均值测度 \(\Lambda'\)。

更具体地，可以考虑一个（Borel 可测）函数 \(f\)，它将具有均值测度 \(\Lambda\) 的点过程 \(N\) 从一个空间 \(S\) 映射到另一个空间 \(T\)，使得新的点过程 \(N'\) 的均值测度为：

\[ \Lambda(B)'=\Lambda(f^{-1}(B)) \]

其中 \(B\) 是一个 Borel 集，\(f^{-1}\) 表示函数 \(f\) 的逆。如果 \(N\) 是一个泊松点过程，则新过程 \(N'\) 也是一个泊松点过程，具有均值测度 \(\Lambda'\)。

用泊松点过程进行近似¶

泊松过程的可处理性意味着，有时将非泊松点过程近似为泊松点过程是方便的。总体目标是通过泊松点过程近似某个点过程的点数和每个点的位置。有多种方法可以用来非正式或严格地证明用合适的泊松点过程来近似随机事件或现象的发生。更严格的方法涉及推导泊松点过程与非泊松点过程之间概率度量的上界，而其他方法可以通过不那么正式的启发式方法来证明。

聚集启发式¶

用泊松过程近似随机事件或现象的一种方法称为聚集启发式。一般的启发式或原理涉及使用泊松点过程（或泊松分布）来近似某些随机过程中的稀有或不太可能发生的事件。在某些情况下，这些稀有事件接近独立，因此可以使用泊松点过程。当事件不是独立的，而是倾向于以聚集或块状形式发生时，如果这些聚集被适当地定义为彼此之间近似独立，那么发生的聚集数量将接近于泊松随机变量，而聚集的位置将接近于泊松过程。

Stein方法¶

Stein方法是一种数学技术，最初用于逼近随机变量，例如高斯变量和泊松变量，后来也应用于点过程。Stein方法可用于推导概率度量的上界，这有助于量化两个随机数学对象在随机性上的差异。已经推导出诸如总变差和Wasserstein距离等概率度量的上界。

研究人员以多种方式将Stein方法应用于泊松点过程，例如使用Palm微积分。基于Stein方法的技术已经被开发出来，用以将某些点过程操作（如稀疏和叠加）的影响纳入上界中。Stein方法还被用于推导泊松过程及其他过程（如Cox点过程）的度量的上界，Cox点过程是一种具有随机强度度量的泊松过程。

收敛到泊松点过程¶

一般来说，当对一般点过程应用某种操作时，结果过程通常不是泊松点过程。例如，如果某个点过程（而非泊松）其点被随机且独立地位移，则该过程不一定是泊松点过程。然而，在某些数学条件下，对于原始点过程和随机位移，已有极限定理表明，如果一个点过程的点以随机且独立的方式反复位移，则该点过程的有限分布将收敛（弱收敛）到泊松点过程的分布。

对于稀疏和叠加操作，也已开发出类似的收敛结果，表明在某些条件下，对点过程进行这种重复操作可以使得过程收敛到泊松点过程，前提是对强度度量进行适当的重新缩放（否则结果点过程的强度度量值将接近零或无穷大）。这种收敛工作与被称为Palm–Khinchin方程的结果直接相关，其起源于Conny Palm和Aleksandr Khinchin的研究，帮助解释了为什么泊松过程常常可以用作各种随机现象的数学模型。

泊松点过程的推广¶

泊松点过程可以通过改变其强度度量或在更一般的数学空间上进行定义来进行推广。这些推广不仅可以在数学上进行研究，还可以用于数学建模或表示物理现象。

泊松类型随机测度¶

泊松类型随机测度（PT）是一类包含三个随机计数测度的家族，它们在限制到子空间时是封闭的，即在点过程操作（如稀疏化）下是封闭的。这些随机测度是混合二项过程的例子，具有泊松随机测度的分布自相似特性。它们是唯一具有此特性的典型非负幂级数分布族的成员，包括泊松分布、负二项分布和二项分布。泊松随机测度在不相交的子空间上是独立的，而其他PT随机测度（负二项和二项）则具有正和负的协方差。PT随机测度的讨论包括泊松随机测度、负二项随机测度和二项随机测度。

在更一般空间上的泊松点过程¶

对于数学模型，泊松点过程通常在欧几里得空间中定义，但已推广到更抽象的空间，并在随机测度的研究中发挥了基础性作用，这需要对概率论、测度论和拓扑学等数学领域的理解。

一般来说，距离的概念在应用中具有实际意义，而拓扑结构对于Palm分布是必需的，这意味着点过程通常是在具有度量的数学空间中定义的。此外，点过程的实现可以视为计数测度，因此点过程是称为随机计数测度的一种随机测度。在这种情况下，泊松过程和其他点过程已在局部紧致的第二可数的豪斯多夫空间中进行研究。

Cox点过程¶

Cox点过程、Cox过程或双随机泊松过程是对泊松点过程的推广，通过让其强度测度 \(\Lambda\) 也是随机的，并且与基础的泊松过程独立。该过程以大卫·考克斯（David Cox）的名字命名，他在1955年首次引入了这一概念，尽管其他具有随机强度的泊松过程在此之前由卢西安·勒卡姆（Lucien Le Cam）和莫里斯·克诺伊尔（Maurice Quenouille）独立引入。强度测度可以是随机变量或随机场的实现。例如，如果强度测度的对数是高斯随机场，则得到的过程称为对数高斯Cox过程。更一般地，强度测度是非负局部有限随机测度的实现。Cox点过程表现出点的聚类，这在数学上可以表明其聚类程度大于泊松点过程。Cox过程的广泛性和可处理性使其在空间统计和无线网络等领域被用作模型。

带标记的泊松点过程¶

带标记点过程的示意图，其中未标记的点过程定义在正实线上，通常表示时间。随机标记在称为标记空间的状态空间 \(S\) 中取值。任何这样的带标记点过程都可以解释为空间 \([0,\infty] \times S\) 上的未标记点过程。标记定理指出，如果原始未标记点过程是泊松点过程且标记是随机独立的，则带标记点过程在 \([0,\infty] \times S\) 上也是泊松点过程。如果泊松点过程是均匀的，则图中间隔 \(\tau_i\) 服从指数分布。

对于给定的点过程，点过程中的每个随机点可以随机赋予一个随机数学对象，称为标记。这些标记可以是整数、实数、线、几何对象或其他点过程等多种形式。构成点过程的点及其相应标记的对称为带标记点，所有带标记点形成带标记点过程。通常假设随机标记彼此独立且分布相同，但一个点的标记仍然可以依赖于其在基础（状态）空间中的位置。如果基础点过程是泊松点过程，则结果点过程是带标记的泊松点过程。

标记定理¶

如果在某个数学空间上定义了一个一般的点过程，而随机标记在另一个数学空间上定义，则带标记点过程定义在这两个空间的笛卡尔积上。对于具有独立且同分布标记的带标记泊松点过程，标记定理指出，这个带标记点过程也是在上述两个数学空间的笛卡尔积上定义的（未标记）泊松点过程，而这一点对于一般的点过程并不成立。

复合泊松点过程¶

复合泊松点过程或复合泊松过程是通过为定义在某个基础空间上的泊松点过程的每个点添加随机值或权重而形成的，因此该过程是从标记的泊松点过程构造的，其中标记形成了一组独立同分布的非负随机变量。换句话说，对于原始泊松过程的每个点，都有一个独立同分布的非负随机变量，然后复合泊松过程是由位于基础数学空间中某个区域的泊松过程对应的所有随机变量的总和形成的。

如果有一个由泊松点过程 \( N \)（定义在例如 \( \mathbb{R}^d \) 上）和一组独立同分布的非负标记 \( \{M_i\} \) 形成的标记泊松点过程，使得对于泊松过程 \( N \) 的每个点 \( x_i \)，都有一个非负随机变量 \( M_i \)，那么结果复合泊松过程为：

\[ C(B) = \sum_{i=1}^{N(B)} M_i, \]

其中 \( B \subset \mathbb{R}^d \) 是一个Borel可测集合。

如果一般随机变量 \( \{M_i\} \) 取值于例如 \( d \) 维欧几里得空间 \( \mathbb{R}^d \)，那么结果复合泊松过程是一个 Lévy 过程的一个例子，前提是它是由定义在非负数 \( [0, \infty) \) 上的均匀点过程 \( N \) 形成的。

带有强度函数指数平滑的故障过程¶

具有强度函数指数平滑的故障过程（FP-ESI）是非均匀泊松过程的扩展。FP-ESI的强度函数是事件发生的最后时间点的强度函数的指数平滑函数。在使用模型拟合数据集时，FP-ESI在8个实际故障数据集上优于其他九个随机过程【166】。模型性能通过AIC（赤池信息准则）和BIC（贝叶斯信息准则）进行衡量。