有限集与无限集

在集合论中，集合可以根据其包含元素的数量分为有限集和无限集。这两类集合有着根本的不同特征。

有限集（Finite Sets）

有限集是指包含有限个元素的集合。即使元素数量为零（即空集），该集合仍然被认为是有限的。

特点：

• 元素数量明确：可以确切地数出集合中的元素数量。
• 例子：集合 \(\{1, 2, 3\}\) 包含三个元素。
• 符号表示：如果集合 \(A\) 是有限集，我们可以写 \(|A| = n\)，其中 \(n\) 是一个非负整数，表示集合中的元素数量。

无限集（Infinite Sets）

无限集是指包含无限个元素的集合。无限集可以进一步分为可数无限集和不可数无限集。

特点：

• 元素无限：元素数量超出有限范畴，无法通过简单的计数来确定。
• 例子：自然数集 \(\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}\) 是一个无限集。

可数无限集（Countably Infinite Sets）

• 定义：如果一个无限集的元素可以与自然数集一一对应，则称该集合为可数无限集。
• 例子：整数集 \(\mathbb{Z} = \{0, 1, -1, 2, -2, \ldots\}\)。

不可数无限集（Uncountably Infinite Sets）

• 定义：如果一个无限集的元素无法与自然数集一一对应，则称该集合为不可数无限集。
• 例子：实数集 \(\mathbb{R}\)，特别是区间 \((0, 1)\) 中的所有实数。