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复数的极坐标变换

这里给出复数的简单极坐标变换规律。(主要是用于计算方便) 我们先假设复数的原始形式为\(\alpha + i\beta\) 。令:

\[ \alpha = r cos \varphi \]
\[ \beta = r\sin \varphi. \]

接着根据复数的运算规律,我们能得到一些有趣的性质。

\[ a_1a_2 = r_1r_2[\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2)] \]

如果我们将 \(\varphi_1 + \varphi_2\) 参数 (Argument) ,我们可以将上述公式简化为:

\[ \mathrm{arg}(a_1a_2) = \mathrm{arg}a_1 + \mathrm{arg}a_2 \]

引用参考书目里的一句话: The argument of a product is equal to the sum of the arguments of the factors. 那么我们不难得出:

\[ \mathrm{arg}\frac{a_1}{a_2} = \mathrm{arg}a_1 - \mathrm{arg}a_2 \]

简单的推广

根据乘法公式,我们可以对其推广。

\[ a^n = r^n \cos n\varphi + i\sin n\varphi. \]

这在n为负整数时也成立,不多赘述。 这里我们给出更一般的结果:

\[ z = \sqrt[n]{r}(\cos \frac{\varphi}{n} + i\sin\frac{\varphi}{n}). \]

显然,根据三角函数的周期性,其实\(z\)可以有很多值,即我们可以将等式更加一般化:

\[ z = \sqrt[n]{r}(\cos (\frac{\varphi}{n} + k\frac{2\pi}{n}) + i\sin(\frac{\varphi}{n} + k\frac{2\pi}{n})), \quad k=0, 1,\cdots, n-1. \]

即,只有在这些 \(k\) 值下,才能得到不同的 \(z\) 值。 那么这里有一种特殊的取值,比较重要,我们特别标注一下 奇怪的定义又增加了\(z^n = 1\) 时,我们有:

\[ \omega = \cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}. \]

那么所有方程的根可以表示成\(1, \omega, \omega^2, \cdots, \omega^{n-1}\).

解析几何

emm... 这里的解析几何是我实在想不出什么名字才取得标题,不要太在意。 这部分是讲述如何在复数域上表示两点之间的距离。 在实数域中这很简单,也就是 \(|x - y|\)