集与点集

我们这里只考虑一维的情况

内点

考虑某个集合 \(E \subset \mathbb{R}\) ，对于某个 \(x \in E\)，存在 \(x\) 的一个邻域 \(\left( \alpha, \beta \right)\) 使得有 \(x \in \left( \alpha, \beta \right) \subset E\) ，则称 \(x\) 为 \(E\) 的内点。

开集

考虑某个集合 \(E \subset \mathbb{R}\)，如果对 \(\forall x \in E\) ， \(x\) 都是 \(E\) 的内点，那么就称 \(E\) 为开集。

聚点

考虑某个集合 \(E \subset \mathbb{R}\) ，如果对 \(x \in \mathbb{R}\) ，\(x\) 的任意邻域 \(\left( \alpha, \beta \right)\) ，都 \(\exists x_0 \in (\left( \alpha, \beta \right) - \left \{ x\right \}) \cap E\) 。即，邻域有 \(E\) 中有异于 \(x\) 的点。则称 \(x\) 为 \(E\) 的聚点。

导集

考虑某个集合 \(E \subset \mathbb{R}\) ，\(E\) 的所有聚点构成的集合，则为 \(E\) 的导集，常记作 \(E'\) 。

闭包

考虑某个集合 \(E \subset \mathbb{R}\) ， \(E \cup E'\) 称为 \(E\) 的闭包，常记为 \(\overline{E}\) 。