实数集合及其有序化

前言

很明显，在我们的学习生活中我们能感受到，有理数或者是整数域已经很难满足数学的需要了，这时候就需要扩张范围了。有个很经典的例子，在有理数域中，没有任何一个数的平方能等于 \(2\)。

要证明这一点，我们可以使用反证法：假定有这样的既约分数 \(\frac{p}{q}\) 存在，使得 \(\left ( \frac{p}{q} \right ) ^2 = 2\) 。因为 \(p^2 = 2q ^ 2\) ，所以 \(p\) 是偶数: \(p = 2r\)。因而， \(q\) 是奇数，从而有 \(q^2 = 2r^2\) ，由此推出 \(q\) 为偶数。但是 \(p\) 也为偶数，这与我们的既约分数假定相违背，故矛盾。

所以此时我们要将名为“无理数”的数域添加进来。

无理数的定义

无理数的准确定义有很多种，我这里推荐去看戴德金的有理数域内的分割理论，当然也还有很多等价理论。可以自己去看看，有时间的话我再来补档。绝对不是不想写了。

无理数和有理数统称为实数，是数学的一个基本概念。

实数集合的有序化

其实这里所谓的有序化是在证明几个非常显然的结论。先假定两个实数\(\alpha\), \(\beta\)，必有并且有以下三种关系之一。

1. \(\alpha\) = \(\beta\)
2. \(\alpha\) > \(\beta\)
3. \(\alpha\) < \(\beta\)

也许你觉得这种证明很没有必要。但是数学的美妙就在于其严谨性。或者回头来想，我们好像确实把这种比较当作理所当然，但是其实我们面对的是抽象的数字，不是具体的物体，所以这种看起来没有必要的证明是很有必要的。