数列极限的性质

数列极限有符号表述法, 以后我们会常常用到, 所以熟读并背诵. 这真的需要背嘛.

\[ \lim_{n \rightarrow \infty}x_n = a \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \space \exists N, \space \forall n > N: |x_n - a| < \epsilon. \]

定理 2.2.1 (极限的唯一性)

收敛数列必惟一. 书上的证明很详细了.

定理 2.2.2

收敛数列必有界. 用极限的定义按照书上证明即可. 注意 逆命题不成立 , 但是后面会知道对有界数列加以限制就可收敛.

定理 2.2.3 (数列的保序性)

书上证明显然

推论

其实就是保序性的特殊形式.

定理 2.2.4 (极限的夹逼性)

其实就是夹逼定理, 主要是用在直接求极限不好求得情况. 其难点就是放大和缩小得幅度问题.

例 2.2.7

书上证明显然, 当然我觉得不用夹逼也可以, 毕竟这个还挺显然得

例 2.2.8

这道题就是典型用夹逼定理解决的问题. 书上的证明也不难理解.