数列与数列极限¶

数列的定义还是显而易见的，这里就不再赘述。

定义 2.2.1¶

这里我主要对怎么理解进行解释：其实这就是一个逼近问题，我们这里要注意定义里的两个词任意和给定，其实就是对于任意一个足够小的间隔 \(\epsilon\) ，我们总能让 \(n\) 取足够大，使得 \(x_n\) 与 \(A\) 的距离更加的小，这里就体现了逼近和极限。

例 2.2.1¶

证明数列 \({\frac{n}{n+3}}\) 的极限为 \(1\). 按照定义求解即可。对 \(\forall \epsilon > 0\) , 要使

\[ \left | \frac{n}{n + 3} - 1 \right | = \frac{3}{n+3} < \epsilon, \]

做简单的变换可知，只需让 \(n > \frac{3}{\epsilon} - 3\) 就能满足该条件。那么只需要让 \(N\) 的取值大于 \(\frac{3}{\epsilon} - 3\) 即可，书中取的 \(N\) 也只是个例子，满足条件的就可以。那么根据定义我们显然证毕。

书中提到了一个 无穷小量 ，其实就是极限为0的数列，就不再赘述。

例 2.2.2¶

证明的思路就是利用极限和无穷小量的定义。书中有一个 \(\max {\left \{ \left [ \frac{\lg{\epsilon}}{\lg{|q|}} \right] , 1 \right \}}\) ,这一块的原因是 \(\epsilon\) 的任意性质使得左项可能为小于1甚至小于0的数。

但是我们知道其实我们的 \(\epsilon\) 是要取足够小的，所以我们可以限制 \(\epsilon\) 的范围为

\[ 0 < \epsilon < |q|. \]

这样我们就避免了左项小于 \(1\) 的问题。那么 \(N\) 可置换为 \(N = \left [ \frac{\lg{\epsilon}}{\lg{|q|}}\right ]\) . 当 \(n > N\) 时，成立 \(|q^n - 0| < \epsilon\) .

证毕。

例 2.2.3¶

书中证明显然

例 2.2.4¶

书中证明显然

书中 ~~类似的~~ 的证明： \(\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{n^k} = 1\) ，它说显然我倒是觉得一点都不显然，这里我们简单证明一下。

其实主要的思路是用夹逼定理，由例题我们有 \(\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n} = 1\) 那么由平均值不等式我们有。

\[ 1 \leq \lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{n^k} = \lim_{n \rightarrow\infty} \sqrt[n]{\sqrt{n} * \cdots * \sqrt{n} * 1 * \cdots * 1}. \]

由于我们的 \(n\) 是可以取到很大的，不妨让它能取到远远大于 \(2k\) 的程度。那么我们就有 \(2k\) 个 \(\sqrt{n}\) 相乘再乘上 \(n - 2k\) 个 \(1\). 再由平均值不等式，即：

\[ \sqrt[n]{\sqrt{n} * \cdots * \sqrt{n} * 1 * \cdots * 1} \leq \frac{2k\sqrt{n} + (n - 2k)}{n} < \frac{2k}{\sqrt{n}} + 1. \]

得到

\[ \lim_{n \rightarrow\infty} \sqrt[n]{\sqrt{n} * \cdots * \sqrt{n} * 1 * \cdots * 1} \leq \lim_{n \rightarrow\infty}\frac{2k}{\sqrt{n}} + 1 = 1. \]

那么由夹逼定理得到结论。证毕.

例 2.2.5¶

书上的证明显然。

例 2.2.6¶

刚看到这道例题的证明可能会有一些云里雾里，这里我给出详细解释。首先我们先证明 \(a=0\) 的情况。则由 \(\lim_{n\rightarrow \infty} a_n = a\) 可得。对于 \(\forall \epsilon > 0, \space \exists N_1\) ，当 \(n > N_1\) 时，成立 \(|a_n| < \frac{\epsilon}{2}\) . OK，我们这里要注意, 我们这里固定了 \(N_1\) , 它不是一个变量. 所以 \(a_1 + a_2 + \cdots + a_{N_1}\) 是一个常量. 了解这一点, 我们就不难知道, 我们一定能取到一个 \(N > N_1\) , 使得当 \(n > N\) 时成立

\[ \left| \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_{N_1}}{n}\right| < \frac{\epsilon}{2}. \]

这上面还是很好理解的, 最让人疑惑的是这个不等式 ~~如果你觉得显然当我没说~~:

\[ \left| \frac{a_{N_1} + a_{N_2} + \cdots + a_n}{n} \right| < \frac{\epsilon}{2}. \]

其实注意我们前面有个条件 \(n > N_1\) 时，成立 \(|a_n| < \frac{\epsilon}{2}\) 所以上面这个等式成立. 其他的就不再细说了.

\(a \neq 0\) 的情况下就是转换成无穷小量再求解即可.