平均值不等式¶
定义¶
平均值不等式涉及不同类型的平均值之间的大小关系，这些平均值主要包括算术平均值、几何平均值和调和平均值。对于非负实数 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\)，这些平均值定义如下：
- 算术平均值 (AM)：表示为各项数值的总和除以项数，计算公式为：
\[
AM = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}
\]
- 几何平均值 (GM)：表示为各项数值的乘积的 n 次方根，计算公式为（适用于所有 \(a_i \geq 0\) 的情况）：
\[
GM = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \cdots \cdot a_n}
\]
- 调和平均值 (HM)：表示为项数除以各项倒数之和，计算公式为（适用于所有 \(a_i > 0\) 的情况）：
\[
HM = \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}}
\]
不等式关系¶
平均值不等式表明，对于任意非负实数 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\)，这些平均值之间满足以下不等式关系：
\[
AM \geq GM \geq HM
\]
- 算术平均值-几何平均值不等式：证明算术平均值不小于几何平均值通常使用Jensen不等式或通过数学归纳法。
- 几何平均值-调和平均值不等式：调和平均值总是小于或等于几何平均值，这可以通过不等式的变换和适当的代数技巧来证明。