单个随机变量函数的分布律¶
离散型¶
连续型¶
已知随机变量\(\xi\)的分布函数F(x)或密度函数\(\rho(x)\)，要求\(\eta=g(\xi)\)的分布函数G(y)或密度函数q(y)
一般情况下我们当然可以用定义求解，下面我们介绍几种常用的形式
公式法¶
(1)当g(x)为单调函数时，问题十分简单，我们有公式：
\[q(y)=\rho(g^{-1}(y))|{g^{-1}(y)}'|\]
我们介绍一个经典的例子
证明\(Y=F_{x}(X)\)，Y服从0-1均匀分布
(2)当g(x)在不相重叠的区间\(I_{1},I_{2}...\)上逐段严格单调，其反函数分别是\(h_{1}(y),h_{2}(y)...\)均为连续函数，那么\(\eta=g(\xi)\)是连续型随机变量，其密度函数为
\[\rho(h_{1}(y))|{h_{1}(y)}'|+\rho(h_{2}(y))|{h_{2}(y)}'|+...\]
多元随机变量函数的分布律¶
离散型¶
离散型的求法：一般采用直接写分布列的方法
具有可加性的离散型分布¶
泊松分布、二项分布、负二项分布
连续型¶
定义法¶
若\(\eta=g(\xi_{1},\xi_{2},...,\xi_{n})\)，而\((\xi_{1},\xi_{2},...,\xi_{n})\)的密度函数为\(\rho(x_{1},...,x_{n})\),则同上面的讨论我们一样可以得到
\[G(y)=p\left \{ \eta <y \right \} =\int ...\int _{g(x_{1},...x_{n})}\rho (x_{1},...x_{n})dx_{1}...dx_{n}\]
通过这个式子我们就可得联合分布函数，当然我们在积分时要注意一些技巧