三角函数公式

\[ \renewcommand{\xfrac}{\displaystyle \frac} \renewcommand{\xsqrt}{\displaystyle \sqrt} \]

这里给出了大部分大学数学常用的三角函数公式。

建议数学专业的读者应熟悉并掌握高中阶段并不重点学习的公式（如半角公式、和差化积公式、三倍角公式，等等），以及熟悉另外三种三角函数的函数关系。

三角函数基本公式

同角三角函数关系

同角三角函数关系描述了各个三角函数的联系，它们很容易由定义推出。

由于初高中一般不涉及余切、正割、余割三种函数，但是这三种函数在微积分中却并不罕见，特别是不定积分中，需要多次运用这些函数进行换元或变换。因此，建议大家熟悉以下关系，特别是较为陌生的余切、正割、余割公式。

它们很容易从三角函数的单位圆定义推出，读者可以自己利用三角函数线进行证明。

倒数关系

1. \(\sec x = \xfrac{1}{\cos x}\)

2. \(\csc x = \xfrac{1}{\sin x}\)

3. \(\cot x = \xfrac{1}{\tan x}\)

平方关系

1. \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) （勾股恒等式，Pythagoras恒等式）

2. \(1 + \tan^2 x = \sec^2 x\)

3. \(1 + \cot^2 x = \csc^2 x\)

商关系

1. \(\tan x = \xfrac{\sin x}{\cos x} = \xfrac{\sec x}{\csc x}\)

2. \(\cot x = \xfrac{\cos x}{\sin x} = \xfrac{\csc x}{\sec x}\)

诱导公式

诱导公式(induction formula)指的是用数学归纳法(induction)推导出的一组三角函数公式，它们讲述了三角函数的周期性、补角、对角、余角的关系。。

公式一（终边相同的角）

以下公式中均默认\(k \in \mathbb{Z}\)

• \(\sin(\theta + 2k \pi) = \sin \theta\)

• \(\cos(\theta + 2k \pi) = \cos \theta\)

• \(\tan(\theta + 2k \pi) = \tan \theta\)

• \(\cot(\theta + 2k \pi) = \cot \theta\)

• \(\sec(\theta + 2k \pi) = \sec \theta\)

• \(\csc(\theta + 2k \pi) = \csc \theta\)

公式二（对角）

• \(\sin(\theta + \pi) = -\sin \theta\)

• \(\cos(\theta + \pi) = -\cos \theta\)

• \(\tan(\theta + \pi) = \tan \theta\)

• \(\cot(\theta + \pi) = \cot \theta\)

• \(\sec(\theta + \pi) = -\sec \theta\)

• \(\csc(\theta + \pi) = -\csc \theta\)

公式三（负角）

• \(\sin(-\theta) = -\sin \theta\)

• \(\cos(-\theta) = \cos \theta\)

• \(\tan(-\theta) = -\tan \theta\)

• \(\cot(-\theta) = -\cot \theta\)

• \(\sec(-\theta) = \sec \theta\)

• \(\csc(-\theta) = -\csc \theta\)

公式四（补角）

• \(\sin(\pi-\theta) = \sin \theta\)

• \(\cos(\pi-\theta) = -\cos \theta\)

• \(\tan(\pi-\theta) = -\tan \theta\)

• \(\cot(\pi-\theta) = -\cot \theta\)

• \(\sec(\pi-\theta) = -\sec \theta\)

• \(\csc(\pi-\theta) = \csc \theta\)

公式五（余角）

• \(\sin\left(\xfrac{\pi}{2}-\theta\right) = \cos \theta\)

• \(\cos\left(\xfrac{\pi}{2}-\theta\right) = \sin \theta\)

• \(\tan\left(\xfrac{\pi}{2}-\theta\right) = \cot \theta\)

• \(\cot\left(\xfrac{\pi}{2}-\theta\right) = \tan \theta\)

• \(\sec\left(\xfrac{\pi}{2}-\theta\right) = \csc \theta\)

• \(\csc\left(\xfrac{\pi}{2}-\theta\right) = \sec \theta\)

公式六（增加\(\pi/2\)相位）

• \(\sin\left(\theta+\xfrac{\pi}{2}\right) = \cos \theta\)

• \(\cos\left(\theta+\xfrac{\pi}{2}\right) = -\sin \theta\)

• \(\tan\left(\theta+\xfrac{\pi}{2}\right) = -\cot \theta\)

• \(\cot\left(\theta+\xfrac{\pi}{2}\right) = -\tan \theta\)

• \(\sec\left(\theta+\xfrac{\pi}{2}\right) = -\csc \theta\)

• \(\csc\left(\theta+\xfrac{\pi}{2}\right) = \sec \theta\)

这些公式有一句著名的口诀：奇变偶不变，符号看象限。“奇变偶不变”指的是，如果括号内增加\(\pi/2\)的奇数倍，改变函数名（如\(\sin\)变成\(\cos\)），偶数倍则不变；而“符号看象限”指的是，只需要假设\(\theta\)是第一象限的角（这样\(\theta\)的三角函数必定为正），而观察公式变换后\(\theta + n\pi/2\)在对应象限的三角函数的符号，例如\(\sin(\theta + \pi)\)，\(\theta\)转动\(\pi\ \text{rad}\)后到达第三象限，而第三象限的正弦是负数，所以\(\sin\)前加负号，\(\sin(\theta + \pi) = - \sin \theta\)。

三角恒等变换公式

和差公式

推导方法：先用几何方法（三角函数线）推导出正余弦和差公式的四个中任意一个，然后用变量代换、诱导公式推得其他公式。

• \(\text{S}_{\alpha + \beta}: \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\)

• \(\text{S}_{\alpha - \beta}: \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta\)

• \(\text{C}_{\alpha + \beta}: \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\)

• \(\text{C}_{\alpha - \beta}: \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta\)

• \(\text{T}_{\alpha + \beta}: \tan(\alpha + \beta) = \xfrac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}\)

• \(\text{T}_{\alpha - \beta}: \tan(\alpha - \beta) = \xfrac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}\)

倍角公式

二倍角公式

在两角和公式中取两个角相等就得到下面的公式。

• \(\text{S}_{2\alpha}: \sin{2\alpha} = 2\sin\alpha\cos\alpha\)

• \(\text{C}_{2\alpha}: \cos{2\alpha} = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha\)

  • \(\cos{2\alpha} = 2\cos^2\alpha - 1\)

  • \(\cos{2\alpha} = 1 - 2\sin^2\alpha\)

• \(\text{T}_{2\alpha}: \tan{2\alpha} = \xfrac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}\)

三倍角公式

• \(\text{S}_{3\alpha}:\sin{3\alpha} = 3\sin{\alpha} - 4\sin^3{\alpha}\)

证明：

\[ \begin{align} \sin{3\alpha} &= \sin{(\alpha + 2\alpha)} \\ &= \sin{\alpha}\cos{2\alpha} + \cos{\alpha}\sin{2\alpha} \\ &= \sin{\alpha}(1-2\sin^2\alpha) + \cos{\alpha}\cdot 2\sin{\alpha}\cos{\alpha} \\ &= \sin{\alpha} - 2\sin^3\alpha + 2\sin{\alpha}\cos^2\alpha \\ &= \sin{\alpha} - 2\sin^3\alpha + 2\sin{\alpha}\cdot(1-\sin^2\alpha) \\ &= 3\sin{\alpha} - 4\sin^3\alpha . \end{align} \]

• \(\text{C}_{3\alpha}: \cos{3\alpha} = 4\cos^3{\alpha}-3\cos{\alpha}\)

证明类似。

以上两个公式可以用“正弦三四三，余弦四三三”来记忆。

半角公式（降幂公式）

• \(\sin^2 \xfrac{\theta}{2} = \xfrac{1 - \cos{\theta}}{2}\)

  • \(\sin \xfrac{\theta}{2} = \pm \xsqrt{\xfrac{1 - \cos{\theta}}{2}}\)

• \(\cos^2 \xfrac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos{\theta}}{2}\)

  • \(\cos \xfrac{\theta}{2} = \pm \xsqrt{\xfrac{1 + \cos{\theta}}{2}}\)

• \(\tan \xfrac{\theta}{2} = \pm \xsqrt{\xfrac{1 - \cos{\theta}}{1 + \cos{\theta}}}\)

以上公式中的正负号需要结合具体的角度象限来确定。

• \(\tan{\xfrac{\theta}{2}} = \xfrac{\sin{\theta}}{1 + \cos{\theta}}\)

• \(\tan{\xfrac{\theta}{2}} = \xfrac{1 - \cos{\theta}}{\sin{\theta}}\) （注意定义域的变化）

证明：

\[ \begin{align} \tan {\frac{\theta}{2}} &= \frac{\sin{\frac{\theta}{2}}}{\cos{\frac{\theta}{2}}} \\ &= \frac{\sin{\frac{\theta}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}}}{\cos^2{\frac{\theta}{2}}} \\ &= \frac{\sin{\theta}}{1 + \cos{\theta}} \end{align} \]

上面的公式常用于不定积分，正在学习微积分或数学分析的读者们建议多重复，尽早掌握。

和差化积与积化和差公式

和差化积(sum-to-product)与积化和差(product-to-sum)公式是一组重要公式，实现了三角函数在和差之间的转化，在极限计算、积分计算中非常常见。

和差化积和积化和差公式由数学家Vieta（嗯，就是韦达定理的那个韦达）首先给出。

和差化积

• \({\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta =2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}\)

• \({\displaystyle \sin \alpha -\sin \beta =2\cos {\alpha +\beta \over 2}\sin {\alpha -\beta \over 2}}\)

• \({\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}\)

• \({\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\alpha +\beta \over 2}\sin {\alpha -\beta \over 2}}\)

口诀：正和正在先，正差正后迁；余和一色余，余差翻了天。

Tip

提示：可以不用硬背，只需要把\(\alpha\)看作\(\xfrac{\alpha+\beta}{2}+\xfrac{\alpha-\beta}{2}\)，而将\(\beta\)看作\(\xfrac{\alpha+\beta}{2}-\xfrac{\alpha-\beta}{2}\)，然后展开即可。这种变形方法以后还会经常在数学分析和高等代数出现。

积化和差

• \({\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta ) \over 2}}\)

• \({\displaystyle \cos \alpha \sin \beta ={\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta ) \over 2}}\)

• \({\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta ) \over 2}}\)

• \({\displaystyle \sin \alpha \sin \beta =-{\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta ) \over 2}}\)

口诀：积化和差得和差，余弦在后要相加，异名函数取正弦，正弦相乘取负值。

Tip

提示：如果对两角和差公式足够熟悉的话，也不需要硬背，只需要想想哪两个展开式相加刚好能抵消掉一项，剩下另一项就行。

例如，将\(\sin \alpha \cos \beta\)化为和差，可以容易想到\(\sin(\alpha+\beta)\)和\(\sin(\alpha-\beta)\)的展开式包含\(\sin \alpha \cos \beta\)和\(\sin{\beta} \cos{\alpha}\)两项，而只要将两个展开式相加，就可以抵消掉\(\sin{\beta} \cos{\alpha}\)一项，剩下\(\sin \alpha \cos \beta\)一项。于是：

\[ {2 \sin \alpha \cos \beta = {\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )}} \]

将2除过去就得到积化和差公式。

Tip2

也可以直接插上对应的项凑成和差化积公式：

\[ \begin{align} &2 \sin \alpha \cos \beta \\ =& 2 \sin{\alpha} \cos{\beta} + \cos{\alpha} \sin{\beta} - \cos{\alpha} \sin{\beta} \\ =& (\sin{\alpha} \cos{\beta} + \cos{\alpha} \sin{\beta}) + (\sin{\alpha} \cos{\beta} - \cos{\alpha} \sin{\beta})\\ =& \sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta).\\ \end{align} \]

其他常用公式

辅助角公式

当\(a>0\)时：

\[ a\sin{x} + b\cos{x} = \sqrt{a^2+b^2} \sin{\left(x + \arctan\frac{b}{a}\right)}. \]

证明：用和差公式展开右边的\(\sin\)即可，注意以下的变形：

令\(\arctan{z}=\theta\)，则有\(z=\tan{\theta}\)； 由\(1 + \cot^2{\theta} = \csc^2\theta\)，得到\(\xfrac{1}{\sin^2\theta} = 1 + \xfrac{1}{\tan^2\theta}\)，解得\(\sin\theta = \xfrac{z}{\xsqrt{z^2+1}}\)，所以：

\[ \sin{\arctan{\frac{b}{a}}} = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}; \]

同理有：

\[ \cos{\arctan{\frac{b}{a}}} = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}; \]

所以有：

\[ \begin{align} &\sqrt{a^2+b^2} \sin{\left(x + \arctan\frac{b}{a}\right)}\\ =& \sqrt{a^2+b^2} \left( \sin{x} \cos{\arctan{\frac{b}{a}}} + \cos{x} \cos{\arctan{\frac{b}{a}}} \right)\\ =& \sqrt{a^2+b^2} \left( \sin{x} \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} + \cos{x} \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \right)\\ =& a\sin{x} + b\cos{x}\\ \end{align} \]

作用：将形如\(a\sin{x}+b\cos{x}\)的函数转换为形如\(A\sin(x+\varphi)\)的函数。这一转换并不改变三角函数的角频率\(\omega\)。

万能公式

将正弦、余弦、正切函数都转化为关于\(\tan(x/2)\)的分式。

• \(\sin{x} = \xfrac{2\tan{\xfrac{x}{2}}}{1+\tan^2{\xfrac{x}{2}}}\)

• \(\cos{x} = \xfrac{1-\tan^2{\xfrac{x}{2}}}{1+\tan^2{\xfrac{x}{2}}}\)

• \(\tan{x} = \xfrac{2\tan{\xfrac{x}{2}}}{1-\tan^2{\xfrac{x}{2}}}\)

证明：

第三个公式为正切的二倍角公式。

第一个公式，由正弦的二倍角公式除以\(\sin^2 (x/2) + \cos^2 (x/2)\)即可证明：

\[ \begin{align} &\sin{x} \\ =& 2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}} \\ =& \frac{ 2 \sin{\frac{x}{2}} \cos{\frac{x}{2}} }{ \sin^2{\frac{x}{2}} + \cos^2{\frac{x}{2}} } \\ =& \frac{ \frac{1}{\cos^2{\frac{x}{2}}} \left( 2 \sin{\frac{x}{2}} \cos{\frac{x}{2}} \right)}{ \frac{1}{\cos^2{\frac{x}{2}} \left( \sin^2{\frac{x}{2}} + \cos^2{\frac{x}{2}} \right) } } \\ =& \frac{2\tan{\frac{x}{2}}}{1+\tan^2{\frac{x}{2}}} \\ \end{align} \]

不定积分中可以利用这种方法将三角积分转化为关于\(\tan(x/2)\)有理积分。

三角函数求和

三角函数也有求和式，例如：

\[ \sum_{k=1}^n \sin{kx} = \sin{x} + \sin{2x} + \cdots + \sin{nx} = \xfrac{\sin{\xfrac{nx}{2}}\sin{\xfrac{(n+1)x}{2}}}{\sin{\xfrac{x}{2}}}. \]

证明见差分方程与数列一节。

这一公式可用于判断任意项级数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \xfrac{\sin{nx}}{n}\)有界：因为\({1/n}\)单调递减且趋于0，而\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \sin{kx}\)有界，由Dirichlet判别法，这个级数收敛。

注：部分内容来自维基百科(Wikipedia)