三角函数简介

\[ \renewcommand{\xfrac}{\displaystyle \frac} \renewcommand{\xsqrt}{\displaystyle \sqrt} \]

三角函数(Trigonometric functions)也叫圆函数，是数学中描述直角三角形角度和边的关系的函数，也是最基本的一种周期函数。它们在几何学研究中被提出，后面又扩展到分析学中成为一类基本初等函数。

这里我们会简要给出三角函数的基本信息，然后在三角公式一节中列出大部分大学数学常用的三角公式，供大家查阅资料。

三角函数的定义

锐角三角函数

在锐角三角形\(ABC\)中，设\(a,b,c\)分别是\(A,B,C\)的对边，\(C\)是直角，则三角函数可以定义如下：（下文中“邻边”指的是邻直角边）

• 正弦(sine)：\(\sin A = \xfrac{\text{对边}}{\text{斜边}} = \xfrac{a}{c},\)

• 余弦(cosine)：\(\cos A = \xfrac{\text{邻边}}{\text{斜边}} = \xfrac{b}{c},\)

• 正切(tangent)：\(\tan A = \xfrac{\text{对边}}{\text{邻边}} = \xfrac{a}{b};\)

• 余切(cotangent)：\(\cot A = \xfrac{\text{邻边}}{\text{对边}} = \xfrac{b}{a};\)

• 正割(secant)：\(\sec A = \xfrac{\text{斜边}}{\text{邻边}} = \xfrac{c}{b};\)

• 余割(cosecant)：\(\csc A = \xfrac{\text{斜边}}{\text{对边}} = \xfrac{c}{a}.\)

单位圆定义

（待补充）

级数定义

分析学中，借助级数，我们可以将\(\sin x\)和\(\cos x\)严格地定义为：

\[ \sin x = \sum_{n=0}^\infty \xfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}= x - \xfrac{x^3}{3!} + \xfrac{x^5}{5!} - \xfrac{x^7}{7!} + \cdots ; \]

\[ \cos x = \sum_{n=0}^\infty \xfrac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}= 1 - \xfrac{x^2}{2!} + \xfrac{x^4}{4!} - \xfrac{x^6}{6!} + \cdots . \]

这样定义的想法当然来自于\(\sin x\)和\(\cos x\)的Taylor级数。不过，这么定义绕开了\(\sin x\)和\(\cos x\)的几何意义，脱离了几何，纯粹从实数理论定义了正弦和余弦函数。所以，这是一种更加严格地定义方法。

定义正弦和余弦之后，我们可以继续定义正切和余切，方法是利用同角三角函数的倒数关系和商关系（见下文）。

三角函数线以及命名来源

（待补充）