极限

前言

啊，初高中的时候我们可能就接触过极限，不过大多数是在物理方面。比如说瞬时速度的计算等等。‘

你是否有想过瞬时变化率（速度）其实是一个很奇怪的概念。

瞬时和变化这两个性质大相径庭的名词为何能绑定在一起。

抑或是在计算瞬时速度时的 \(\frac{dx}{dt}\) 时考虑过分子\(dt\)为何能为0？ 希望在了解极限这方面的知识后，你能清楚缘由。

定义

极限的定义非常巧妙，让我们先以数列极限为起始，了解极限定义的基本思想。 我们先引用数列极限的标准定义:

对于数列 \({x_n}\)，若存在一个实数 \(L\) ,使得对于任意给定的正数 \(\epsilon\)，总存在正整数 \(N\), 使得当 \(n>N\) 时，\(|x_n-L|<\epsilon\) 成立，则称数列 \({x_n}\) 的极限为 \(L\)，记作 \(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}{x_n=L}\).

让我们来解释一下这个定义。 对于极限我们可以用这种方式理解：当 \(n\rightarrow\infty\) 时，\(x_n\) 与 \(L\) 的距离永远小于某个固定的值也就是\(\epsilon\)。 于是数列极限的定义可以这样通俗地解释为： 当\(n>N\)（ \(N\) 为某个常数）时，无论你取一个多么小的正数即使是0.000000000000000000001，你都能找到那么一个 \(x_n\) ，它与L的距离更近但不一定为0，反正很小，这就很巧妙的表达了我们所理解的无限逼近这个概念，也避免了等于0而经常出现的窘境。