数学分析常用知识

\[ \newcommand{\xfrac}{\displaystyle \frac} \newcommand{\xint}{\displaystyle \int} \newcommand{\xsqrt}{\displaystyle \sqrt} \newcommand{\xsum}{\displaystyle \sum} \newcommand{\xlim}{\displaystyle \lim} \newcommand{\limsup}[1]{\mathop{\overline{\text{lim}}}\limits_{#1}} \newcommand{\liminf}[1]{\mathop{\underline{\text{lim}}}\limits_{#1}} \newcommand{\seq}[1]{\{#1\}} \newcommand{\series}[1][n=1]{\displaystyle \sum_{#1}^{\infty}} \def\d{\mathrm{d}} \def\R{\mathbb{R}} \def\phi{\varphi} \def\Beta{\mathrm{B}} \def\e{\mathrm{e}} \def\N{\mathbb{N}} \def\implies{\Rightarrow} \]

在这一节，我们列出后续课程中数学分析的常用结论，供大家参考。

学到后面很容易又把前面的知识忘记，这里便提供大家一个复习的机会。

欢迎大家添加新内容。

极限

常用等价量

Stirling公式：

• \(n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \xfrac{n}{\e} \right)^n;\)
• \(\Gamma(x + 1) \sim \sqrt{2 \pi x} \left( \xfrac{x}{\e} \right)^x\)，\(x \to \infty.\)

不定积分

带根号的积分

• \(\xint \xsqrt{a^2 - x^2} \d x = \xfrac{x}{2} \xsqrt{a^2 - x^2} + \xfrac{a^2}{2} \arcsin{\xfrac{x}{a}} + C\)
• \(\xint \xfrac{1}{\xsqrt{x^2 \pm a^2}} \d x = \ln{|x + \xsqrt{x^2 \pm a^2}|} + C\)
• \(\xint {\xsqrt{x^2 \pm a^2}} \d x = \xfrac{1}{2} (x\xsqrt{x^2 \pm a^2} + \ln{|x + \xsqrt{x^2 \pm a^2}|}) + C\)

三角函数积分

指数与三角函数相乘，这个不定积分可以用两次分部积分计算，但实际上计算相对麻烦，可以直接记下：

• \(\xint \e^{\lambda x} \sin{\omega x} \d x = \xfrac{1}{\lambda^2 + \omega^2} \e^{\lambda x} (\lambda \sin{\omega x} - \omega \cos{\omega x});\)
• \(\xint \e^{\lambda x} \cos{\omega x} \d x = \xfrac{1}{\lambda^2 + \omega^2} \e^{\lambda x} (\omega \sin{\omega x} + \lambda \cos{\omega x}).\)

定积分和广义积分

常用积分公式

正弦的幂的积分：

\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \d x = \begin{cases} \xfrac{(n-1)!!}{n!!}, & n\text{为奇数}; \\ \xfrac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \xfrac{\pi}{2}, & n\text{为偶数}. \end{cases} \]

Poisson积分：

\[ \int_0^{+\infty} e^{-x^2} \d x = \frac{\sqrt{\pi}}{2}. \]

推论：正态分布的规范性：\(\xint_0^{+\infty} \xfrac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \e^{-\frac{x^2}{2}} \d x = 1\)。

Euler积分

Beta函数的定义：\(\Beta (p, q) = \xint_0^1 x^{p-1} (1-x)^{q-1} \d x\)，\(p > 0, q > 0\)。

Gamma函数的定义：\(\Gamma (s) = \xint_0^{+\infty} x^{s-1} \e^{-x} \d x\)，\(s > 0\)。

Beta函数的等价表达式：

\[ \Beta (p, q) = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin{x})^{2p-1} (\cos{x})^{2q-1} \d x = \int_0^1 \frac{t^{p-1} + t^{q-1}}{(1+t)^{p+q}} \d t. \]

Beta函数与Gamma函数的关系：\(\Beta (p, q) = \xfrac{\Gamma(p) \Gamma(q)}{\Gamma(p + q)}\)。

（使用该公式可以计算Beta函数）

Gamma函数的递推公式：\(\Gamma(s+1) = s\Gamma(s)\)，特别地，\(\Gamma(n) = (n-1)!\)。（使用该公式可将Gamma函数的计算化到区间\((0, 1]\)上）

Gamma函数特殊值：\(\Gamma(1) = 1\)，\(\Gamma \left(\xfrac{1}{2} \right) = \sqrt{\pi}\)（由Poisson积分可推出）。

余元公式（Euler反射定理）：\(\Gamma(s) \Gamma(1-s) = \xfrac{\pi}{\sin{\pi s}}\)，\(0 < s < 1\)。（通常在Beta函数化为Gamma函数后使用）

Stirling公式：\(\exists \theta \in (0, 1)\)，s.t.

\[ \Gamma(s + 1) = \sqrt{2\pi s} \left( \frac{s}{\e} \right)^s \e^{\frac{\theta}{12s}}. \]

与概率统计的联系：

• Gamma分布的规范性：\(\xint_0^{+\infty} \xfrac{\lambda^r}{\Gamma(r)} x^{r-1} \e^{-\lambda x} \d x = 1\)，\(r, \lambda > 0\)

上面这一性质可用于快速计算形如 \(\xint_0^{+\infty} x^\alpha \e^{-\lambda x} \d x\) 的积分。

• Z分布的规范性：\(\xint_0^{+\infty} \xfrac{1}{\Beta(a, b)} \xfrac{x^{a-1}}{(1 + x)^{a+b}} \d x = 1\)，\(a, b > 0\)。

重积分

球面变换

在\(\R^3\)上，球面变换可以写为：

\[ \begin{cases} x = r \sin{\phi} \cos{\theta}, \\ y = r \sin{\phi} \sin{\theta}, \\ z = r \cos{\phi}. \end{cases} \]

其中\(r\)是到原点的距离，\(\theta\)是经度，\(\pi/2 - \phi\)是纬度。

\(0 \le r < + \infty\)，\(0 \le \theta < 2\pi\)，\(0 \le \phi \le \pi\)。

Jacobi行列式\(J = r^2 \sin{\phi}\)，也就是\(\d x \d y \d z = r^2 \sin{\phi} \d r \d \theta \d \phi\)。

在\(\R^n\)(\(n \ge 2\))中，球面变换可以写成：

\[ \begin{cases} x_1 = r \cos{\phi_1}, \\ x_2 = r \sin{\phi_1} \cos{\phi_2}, \\ x_3 = r \sin{\phi_1} \sin{\phi_2} \cos{\phi_3}, \\ \cdots \cdots \cdots \\ x_{n-1} = r \sin{\phi_1} \sin{\phi_2} \cdots \sin{\phi_{n-2}} \cos{\phi_{n-1}} \\ x_{n} = r \sin{\phi_1} \sin{\phi_2} \cdots \sin{\phi_{n-2}} \sin{\phi_{n-1}} \end{cases} \]

其中\(0 \le r < +\infty\)，\(0 \le \pi_1, \dots, \pi_{n-2} \le \pi\)，\(0 \le \phi_{n-1} < \pi\)；Jacobi行列式\(J = r^{n-1} \sin^{n-2}\phi_1 \sin^{n-3}\phi_2 \cdots \sin{\phi_{n-2}}\)。

变量代换公式

级数

数项级数

正项级数收敛判别

判别正项级数\(\xsum_{n=1}^{\infty} x_n\)是否收敛的方法：

• 比较判别法：若自某项起\(x_n < y_n\)，则：
  • \(\xsum_{n=1}^{\infty} y_n\) 收敛 \(\implies\) \(\xsum_{n=1}^{\infty} x_n\) 收敛；
  • \(\xsum_{n=1}^{\infty} x_n\) 发散 \(\implies\) \(\xsum_{n=1}^{\infty} y_n\) 发散。
• Cauchy判别法（根值审敛法）：若\(\limsup{n \to \infty} \xsqrt[n]{x_n} = l\)，则当\(l < 1\)时级数收敛，当\(l > 1\)时级数发散。
• d'Alembert判别法（比值审敛法）：\(\limsup{n \to \infty} \xfrac{x_{n+1}}{x_n} < 1\)时级数收敛，\(\liminf{n \to \infty} \xfrac{x_{n+1}}{x_n} > 1\)时级数发散。

任意项级数收敛判别

判别任意项级数\(\xsum_{n=1}^{\infty} x_n\)是否收敛的方法：

• 通项趋于0：若\(x_n\)不收敛于0，则级数发散。
• Cauchy收敛原理：\(\forall \varepsilon > 0\)， \(\exists N \in \N^+\)， \(\forall m, n > N\)， \(m < n\)： \(|a_{m + 1} + a_{m + 2} + \cdots + a_n | < \varepsilon\) \(\Longleftrightarrow\) \(\xsum_{n=1}^{\infty} a_n\) 收敛。
• Leibniz判别法：若交错级数 \(\xsum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} u_n\) 满足\(\{ u_n \}\)单调递减且趋于0，则交错级数收敛。
• 绝对收敛法：若 \(\xsum_{n=1}^{\infty} |x_n|\) 收敛，则 \(\xsum_{n=1}^{\infty} x_n\) 也收敛。
  • 若用Cauchy判别法或者d'Alembert判别法得出 \(\series |x_n|\) 发散，则 \(\series x_n\) 也发散。
• A-D判别法：对级数 \(\xsum_{n=1}^{\infty} x_n y_n\) ：
  • Abel判别法：若 \(\xsum_{n=1}^{\infty} x_n\) 收敛， \(\{ y_n \}\) 单调有界，则 \(\xsum_{n=1}^{\infty} x_n y_n\) 收敛；
  • Dirichlet判别法：若 \(\xsum_{k=1}^{n} x_k\) 有界， \(\{ y_n \}\) 单调趋于0，则 \(\xsum_{n=1}^{\infty} x_n y_n\) 收敛。

绝对收敛级数的性质

• 加法交换律：绝对收敛级数，任意交换求和次序后依然收敛，且不改变级数和。
  • 否命题——Riemann重排定理：若级数 \(\series x_n\)条件收敛，则对任意超实数 \(a \in \overline{\R}\)，存在某种排序方法 \(\seq{x_n'}\) s.t. 重新排序后的级数 \(\series x_n'\) 收敛到 \(a\)。
• 加法结合律：绝对收敛级数任意添括号依然收敛，且不改变级数和。
• 乘积收敛：若 \(\series a_n\) 和 \(\series b_n\) 绝对收敛，则其乘积按任意顺序求和也收敛，且 \(\xsum_{i, j} a_i b_j = \series a_n \series b_n\) 。

函数列与函数项级数

一致收敛判别

• Weierstrass判别法（优级数判别法）：对于函数项级数 \(\series a_n(x)\) ，若 \(\exists b_n \ge 0\) s.t. \(\forall n\) 有 \(|a_n(x)| < b_n\) ，且正项级数 \(\xsum_{n=1}^{\infty} b_n\) 收敛，则 \(\series a_n(x)\) 一致收敛。

一致收敛性质

• 函数极限与数列极限换序（连续性定理）
• 积分与数列极限换序（逐项积分定理）
• 求导与数列极限换序（逐项求导定理）
  • 若 \(\seq{S_n(x)}\) 的每一项在 \(I\) 上有连续导数，且 \(\seq{S_n(x)}\) 逐点收敛， \(\seq{S_n'(x)}\) 一致收敛，则 \(\xfrac{\d}{\d x} \xlim_{n\to\infty} \seq{S_n(x)} = \xlim_{n\to\infty} \xfrac{\d}{\d x} \seq{S_n(x)}\)；
  • 若 \(\series u_n(x)\) 的每一项在 \(I\) 上有连续导数，且 \(\series u_n(x)\) 逐点收敛， \(\series u_n'(x)\) 一致收敛，则 \(\xfrac{\d}{\d x} \series u_n(x) = \series \xfrac{\d}{\d x} u_n(x)\)。

幂级数和Taylor级数

幂级数指的是形如 \(\series[n=0] a_n(x - x_0)^n\) 的级数，做平移可以将所有幂级数化为 \(\series[n=0] a_nx^n\) 的形式。

若一个函数可以按Taylor公式展开成幂级数，则我们称展开的幂级数为这个函数的Taylor级数。

幂级数的收敛半径和性质

对于幂级数 \(\series[n=0] a_n x^n\)

• Cauchy-Hadamard定理：令 \(l = \limsup{n \to \infty} \xsqrt[n]{|a_n|}\) ，则其收敛半径 \(R = \xfrac{1}{l}\) 。
• d'Alembert判别法：若极限 \(l = \lim_{n \to \infty} \left| \xfrac{a_{n+1}}{a_n} \right|\) 存在（包括无穷大），则幂级数的收敛半径为 \(R = \xfrac{1}{l}\) 。

在端点 \(x = \pm R\) 是否收敛需要另外判断。

Abel第二定理：

• 在收敛半径内，也就是 \(x \in (-R, R)\) 时，幂级数内闭一致收敛；
• 若在 \(x = R\) 处级数（数项级数）也收敛，则在 \((-R, R]\) 上幂级数内闭一致收敛。

推论：

幂级数在其收敛域内连续，并且逐项可导、可积。

复幂级数

以上三个定理对复幂级数 \(\series[n=0] a_n z^n\) ， \(z \in \mathbb{C}\) 也成立，此时应理解为在开圆 \(|z| < R\) 内复幂级数收敛，而内闭一致收敛应理解为在开圆内任意闭区域一致收敛。

常见函数的Taylor展开

以下没有注明收敛域则表示在全空间 \(\R\) 上收敛。

\(\xfrac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n + \cdots\)， \(x \in [-1, 1)\)；

\(\e^x = 1 + \xfrac{x}{1!} + \xfrac{x^2}{2!} + \cdots \xfrac{x^n}{n!} + \cdots\)；

\(\sin{x} = x - \xfrac{x^3}{3!} + \xfrac{x^5}{5!} - \cdots + (-1)^n \xfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots\)；

\(\cos{x} = 1 - \xfrac{x^2}{2!} + \xfrac{x^4}{4!} - \cdots + (-1)^n \xfrac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots\)；

\(\ln(1 + x) = x - \xfrac{x^2}{2} + \xfrac{x^3}{3} - \xfrac{x^4}{4} + \cdots + (-1)^{n+1} \xfrac{x^n}{n} + \cdots\)， \(x \in (-1, 1]\)；

幂级数求和

这是Taylor展开的反过程，通常先求出收敛域，然后根据幂级数逐项可导、可积的性质，转化为容易求和的函数，或者转化为某一常见函数的Taylor展开式。

• 例题：求 \(\series[n=0] \xfrac{x^n}{n!}\) 的和函数。

解答

当然我们已经知道是 \(\e^x\) 了，不过，如果我们第一次遇到呢？

直接计算得：

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n + 1} = 0. \]

所以收敛域为 \(\R\) 。

设 \(S(x) = \series[n=0] x^n\) ，由幂级数的逐项可导性，有：

\[ S'(x) = \series \xfrac{x^{n-1}}{(n-1)!} = \series[n=0] \xfrac{x^{n}}{n!} = S(x); \]

这是一个常微分方程，其通解为：

\[ S(x) = C \e^x; \]

又有 \(S(0) = \series[n=0] 0 = 0\)，所以 \(C = 1\)，得 \(S(x) = \e^x\)。

• 例：已知参数为 \(\lambda\) 的Poisson分布的分布律为 \(p_k = \xfrac{\lambda^k}{k!} \e^{-\lambda k}\)， \(k = 0, 1, 2, \dots\)，求其数学期望。

Fourier级数

周期为\(2 \pi\)的函数：

\[ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos{nx} + b_n \sin{nx}); \]

其中：\(a_n = \xfrac{1}{\pi} \xint_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos{nx} \d x\)，\(b_n = \xfrac{1}{\pi} \xint_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin{nx} \d x\)（Euler-Fourier公式）。