复数的极坐标变换

这里给出复数的简单极坐标变换规律。（主要是用于计算方便）我们先假设复数的原始形式为\(\alpha + i\beta\) 。令：

\[ \alpha = r cos \varphi \]

\[ \beta = r\sin \varphi. \]

接着根据复数的运算规律，我们能得到一些有趣的性质。

\[ a_1a_2 = r_1r_2[\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2)] \]

如果我们将 \(\varphi_1 + \varphi_2\) 参数 (Argument) ，我们可以将上述公式简化为:

\[ \mathrm{arg}(a_1a_2) = \mathrm{arg}a_1 + \mathrm{arg}a_2 \]

引用参考书目里的一句话： The argument of a product is equal to the sum of the arguments of the factors. 那么我们不难得出：

\[ \mathrm{arg}\frac{a_1}{a_2} = \mathrm{arg}a_1 - \mathrm{arg}a_2 \]

根据乘法公式，我们可以对其推广。

\[ a^n = r^n \cos n\varphi + i\sin n\varphi. \]

这在n为负整数时也成立，不多赘述。这里我们给出更一般的结果：

\[ z = \sqrt[n]{r}(\cos \frac{\varphi}{n} + i\sin\frac{\varphi}{n}). \]

显然，根据三角函数的周期性，其实\(z\)可以有很多值，即我们可以将等式更加一般化：

\[ z = \sqrt[n]{r}(\cos (\frac{\varphi}{n} + k\frac{2\pi}{n}) + i\sin(\frac{\varphi}{n} + k\frac{2\pi}{n})), \quad k=0, 1,\cdots, n-1. \]

即，只有在这些k值下，才能得到不同的z值。那么这里有一种特殊的取值，比较重要，我们特别标注一下 ~~奇怪的定义又增加了~~ 当 \(z^n = 1\) 时，我们有:

\[ \omega = \cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}. \]

那么所有方程的根可以表示成\(1, \omega, \omega^2, \cdots, \omega^{n-1}\).

解析几何¶

emm... 这里的解析几何是我实在想不出什么名字才取得标题，不要太在意。这部分是讲述如何在复数域上表示两点之间的距离。在实数域中这很简单，也就是\(|x - y|\)