基本介绍

\[ \newcommand{\xfrac}{\displaystyle \frac} \newcommand{\xint}{\displaystyle \int} \newcommand{\xsqrt}{\displaystyle \sqrt} \newcommand{\xsum}{\displaystyle \sum} \newcommand{\xlim}{\displaystyle \lim} \newcommand{\limsup}[1]{\mathop{\overline{\text{lim}}}\limits_{#1}} \newcommand{\liminf}[1]{\mathop{\underline{\text{lim}}}\limits_{#1}} \newcommand{\seq}[1]{\{#1\}} \newcommand{\series}[1][n=1]{\displaystyle \sum_{#1}^{\infty}} \def\d{\mathrm{d}} \def\R{\mathbb{R}} \def\phi{\varphi} \def\Beta{\mathrm{B}} \def\e{\mathrm{e}} \def\N{\mathbb{N}} \def\implies{\Rightarrow} \]

在学习数学的过程中我们很容易知道，有理数系统对于一些特殊情况无法解决，例如 \(p^2 = 2\)，我们在有理数系统下只能找到一个趋近于\(p\)的一个有理数： \(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, ...\) 那么，对于严谨著称的数学来说这一定是不能被接受的。

那么我们就要定义类似于\(\sqrt2\)的一类无理数。就需要一定的严格解释。

首先我们证明p不是有理数（其中\(p^2 = 2\)）。

显然用反证法证明:

\[ 如果p为有理数 \\ \]

令

\[ p = \frac{m}{n}（其中m, n为整数，且不可再约分）\\ \]

得到

\[ m^2 = 2n^2, \]

那么显然\(m^2\)为偶数，所以\(m\)也为偶数，故等式右边可以被\(4\)整除，那么\(n^2\)也为偶数，即\(n\)也为偶数。 \(m, n\)都为偶数，与\(p = \frac{m}{n}\)矛盾。故\(p\)不是有理数。

再者，我们证明对于任何一个有理数p，都能找到一个有理数q，使得q与 \(\sqrt2\) 更接近。

首先我们令

\[ q = p - \frac{p^2 -2}{p+2}=\frac{2p+2}{p+2}. \]

然后

\[ q^2 -2 = \frac{2(p^2-2)}{(p+2)^2}. \]

那么我们容易知道:

如果\(p^2<2\)那么\(q>p\)。

如果\(p^2>2\)那么\(p>q\)。

通过这两个证明，我们可以了解到光靠有理数系统是不足以满足我们的需求的，实数系统能很好的解释很多问题。